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목록(9차) 미적분 II 문제풀이/미분 (157)
수악중독
삼차함수 $f(x)=x^3-4x^2$ 에 대하여 함수 $f(\ln x)$ 가 극값을 갖는 $x$ 의 값을 $a, \; b\;\;(a
열린 구간 $\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{3\pi}{2} \right )$ 에서 정의된 함수 $$f(x) = \begin{cases} 2 \sin^3x & \left ( - \dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{4} \right ) \\[10pt] \cos x & \left ( \dfrac{\pi}{4} \le x < \dfrac{3\pi}{2} \right ) \end{cases} $$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 개수를 $g(t)$ 라 하자. (가) $-\dfrac{\pi}{2}
최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\dfrac{f(x)}{|x-2|+x}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 의 이계도함수 $g''(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) 함수 $g(x)$ 는 $x=5$ 에서 극솟값 $m$ 을 갖는다. (단, $m
함수 $f(x)=\left (x^2+ax+b \right) e^x$ 과 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=e, \;\; f'(1)=e$(나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(f(x))=f'(x)$ 이다. 함수 $h(x)=f^{-1}(x)g(x)$ 에 대하여 $h'(e)$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ④
양수 $t$ 에 대하여 구간 $[1, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 $$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} \ln x & (1 \le x
그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원 모양의 색종이가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 두 점 $\rm A, \; P$ 를 연결하는 선을 접는 선으로 하여 색종이를 접는다. $\angle {\rm PAB} = \theta$ 일 때, 포개어지는 부분의 넓이를 $S(\theta)$ 라 하자. $\theta = \alpha$ 에서 $S(\theta)$ 가 최댓값을 갖는다고 할 때, $\cos 2\alpha$ 의 값은? (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$) ① $\dfrac{-2+\sqrt{17}}{8}$ ② $\dfrac{-1+\sqrt{17}}{8}$ ③ $\dfrac{\sqrt{17}}{8}$ ④ $\dfrac{1+\..
함수 $f(x)=\ln \left ( e^x +1 \right ) + 2e^x$ 에 대하여 이차함수 $g(x)$ 와 실수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $h(x)=|g(x)-f(x-k)|$ 는 $x=k$ 에서 최솟값 $g(k)$ 를 갖고, 닫힌 구간 $[k-1, \; k+1]$ 에서 최댓값 $2e+\ln \left ( \dfrac{1+e}{\sqrt{2}} \right )$ 를 갖는다. $g' \left ( k-\dfrac{1}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. (단, $\dfrac{5}{2} < e < 3$ 이다.) 정답 $6$
좌표평면에서 함수 $f(x)=(\ln x)^2- \ln x$ 에 대하여 원점과 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 를 이은 직선이 이 곡선과 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 $t=a_1$, $ t=a_2$, $t=a_3$, $t=a_4$, $t=a_5$ $(a_1 < a_2
단면의 넓이가 $120 \left (\rm m^2 \right)$ 로 일정한 원통형의 물탱크에 물이 $5(\rm m)$ 까지 차 있다. 이 물탱크의 바닥 중앙에 있는 넓이 $\dfrac{1}{5} \left (\rm m^2 \right)$ 인 구멍으로 물이 빠지고 있다. 물탱크의 바닥으로부터 수면까지의 높이가 $y(\rm m)$ 일 때, 빠져나가는 물의 속력 $v(\rm m/s)$ 는 $v=\sqrt{20y}$ 로 주어진다고 하자. 다음은 이 식을 이용해서 물의 높이가 $5(\rm m)$ 에서 $\dfrac{5}{4}(\rm m)$ 로 줄어들 때가지 걸리는 시간을 계산한 것이다.$v$ 와 $y$ 가 시간에 따라 변하므로 $v$ 와 $y$ 의 관계식 $v=\sqrt{20y}$ 를 $t$ 에 관하여 미분하여..