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목록(9차) 미적분 I 문제풀이/적분 (155)
수악중독
이차함수 \(f(x)\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 가 \[g(x)={\displaystyle \int \left \{ x^2 +f(x) \right \} dx,} \;\; f(x)g(x)=-2x^4 +8x^3 \] 을 만족시킬 때, \(g(1)\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ②
좌표평면 위의 두 점 \( {\rm O} ( 0 , \; 0 ) , \; {\rm A } ( 2 , \; 0 ) \) 이 있다. 자연수 \( n \) 에 대하여 \(\overline {{\rm{OA}}} \) 를 \( n \) 등분한 점을 차례로 \( {\rm A_1 , \; A_2 , \; \cdots , \; A_{{\it n}-1}} \) 이라 하고, 점 \( \rm O \) 는 \( \rm A_0 \) , 점 \( \rm A \) 는 \( \rm A_{\it n} \) 이라 하자. 점 \( {\rm A_{\it k}} \) 를 지나고 \( x \) 축과 수직인 직선이 함수 \( f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \) 의 그래프와 만나는 점을 \( \rm B_{\it k} \) 라 하..
정수 \( a , \; b , \; c \) 에 대하여 함수 \( f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 10 \) 이 다음 두 조건을 모두 만족시킨다. (가) 모든 실수 \( \alpha \) 에 대하여 \(\displaystyle\int_{ - \alpha }^\alpha {f(x){\rm{d}}x} = 2\int_0^\alpha {f(x){\rm{d}}x} \) (나) \( -6 < f'(1) < -2 \) 이때, 함수 \( y=f(x) \) 의 극솟값은? (4점) ① \(5\) ② \(6\) ③ \(7\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 ②
실수 전체에서 정의된 연속함수 \( f(x) \) 가 \( f(x) = f(x+4) \) 를 만족하고 \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{11} -4x+2 & (0 \leq x < 2 ) \\ x^2 -2x + a & ( 2 \leq x \leq 4 ) \end{array} \right. \] 일 때, \(\displaystyle \int_9^{11} {f(x){\rm{d}}x} \) 의 값은? [3점] ① \(-8\) ② \( - \dfrac{26}{3}\) ③ \(-\dfrac{28}{3}\) ④ \(-10\) ⑤ \(-\dfrac{32}{3}\) 정답 ②
그림과 같이 네 점 \( ( 0 , \; 0 ) , \; ( 1 , \; 0 ) , \; ( 1 , \; 1 ) , \; ( 0 , \; 1 ) \) 을 꼭짓점으로 하는 정사각형의 내부를 두 곡선 \( y = \dfrac{1}{2} x^2 , \; y=ax^2 \) 으로 나눈 세 부분의 넓이를 각각 \( S_1 , \; S_2 , \; S_3 \) 이라 하자. \( S_1 , \; S_2 , \; S_3 \) 이 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 양수 \( a \) 의 값은?① \(\dfrac{16}{9}\) ② \(\dfrac{17}{9}\) ③ \(2\) ④ \(\dfrac{19}{9}\) ⑤ \(\dfrac{20}{9}\) 정답 ①
두 다항식 \( f(x) , \; g(x) \) 에 대하여 \( f(x) = x \cdot g(x) \) 이고 방정식 \( g(x) = 1 \)을 만족하는 \( x \) 의 값은 \( -4 , \; 6 \) 이다. 그림과 같이 \( x \) 축에 접하는 곡선 위의 점 \( \rm P \) 에서 각각 \( x , \; y \) 축에 내린 두 수선의 발 \( {\rm Q}(a,\;0) , \; {\rm R} ( 0 , \; b ) \) 에 대하여 사각형 \( \rm OQPR \) 는 넓이가 가장 큰 정사각형일 때, 다음 중 곡선 \( y = f(x) \) 와 직선 \( y=b \) 및 \( y \)축으로 둘러싸인 넓이를 나타낸 것은? ① \( 9 - \displaystyle \int_0^3 f(x){\rm ..
함수 \( f(x) \) 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 \( x \ne 1 \) 인 모든 실수 \( x \) 에 대하여 \( \dfrac{1}{x-1} \displaystyle \int_{1}^{x} f(t){\rm d}t = x^3 \) 일 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \( f(2)=20\)ㄴ. \( f(x) \) 는 \( x=0\)에서 극대이다.ㄷ. \( y=f(x) \) 의 그래프는 \( x \) 축에 접한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
사차함수 \( f(x) \) 는 임의의 실수 \( t \) 에 대하여 \(\displaystyle \int_{ - t}^t {f'(x){\rm{d}}x} = 0\) 을 만족한다. \( f(-2) = -1 \) 이고 \( f(4) = 17 \) 일 때, \(\displaystyle \int_{-4}^2 {f'(-x){\rm{d}}x}\) 의 값을? ① \(-18\) ② \(-16\) ③ \(-14\) ④ \(16\) ⑤ \(18\) 정답 ⑤
그림은 최고 속도 \( 300 {\rm km/h} \) 인 \( A \) 역과 \( B \) 역을 운행하는 특급열차 일등급호의 속도를 측정하여 나타낸 그래프이다. \( A \) 역과 \( B \) 역 사이의 거리가 \( 250 \rm km \) 이고 일등급호의 속도 그래프의 특징이 다음과 같다고 할 때, 두 역간의 운행시간을 구하면? (가) 가속구간과 감속구간은 각각 전체 운행시간의 \( \dfrac{1}{3} , \; \dfrac{1}{6} \) 이다. (나) 가속과 감속할 때의 속도 그래프는 포물선이다. (다) 속도 그래프는 전 구간에서 미분가능하다. ① \( 30\) 분 ② \( 1\) 시간 ③ \( 1\) 시간 \(20\)분 ④ \(1\)시간 \(30\)분 ⑤ \(2\)시간 정답 ② 보충설명
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \( \rm P \) 의 시각 \( t \;\; ( 0 \leq t \leq 5 ) \) 에서의 속도 \( v(t) \) 가 다음과 같다. \[ v(t) = \left \{ \begin{array}{11} 4t & ( 0 \leq t < 1 ) \\ -2t+6 & (1 \leq t < 3) \\ t-3 & (3 \leq t \leq 5 ) \end{array} \right. \] \(0