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목록(9차) 미적분 I 문제풀이/미분 (223)
수악중독
임의의 실수 \(x\) 에 대하여 다음 조건을 만족하는 다항함수 \(f(x)\) 를 구하여라. \[\left \{ f'(x) \right \}^2 = 12f(x)-8, \;\; f(1)=2\] 정답 \(f(x)=3x^2 -2x+1,\;\; or\;\;f(x)=x^2 -10x+9\)
닫힌 구간 \([0,\;2]\) 에서 정의된 함수 \[f(x)=ax(x-2)^2\;\; \left ( a> \dfrac{1}{2} \right )\] 에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 와 직선 \(y=x\) 의 교점 중 원점 \(\rm O\) 가 아닌 점을 \(\rm A\) 라 하자. 점 \(\rm P\) 가 원점으로부터 점 \(\rm A\) 까지 곡선 \(y=f(x)\) 위를 움직일 때, 삼각형 \(\rm OAP\) 의 넓이가 최대가 되는 점 \(\rm P\) 의 \(x\) 좌표가 \(\dfrac{1}{2}\) 이다. 상수 \(a\) 의 값은? ① \(\dfrac{5}{4}\) ② \(\dfrac{4}{3}\) ③ \(\dfrac{17}{12}\) ④ \(\dfrac{3}{2}\) ⑤ \(\dfrac..
좌표평면에서 두 함수 \[ f(x)=6x^3 -x,\;\; g(x)=\left | x-a \right |\] 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 실수 \(a\) 의 값의 합은? ① \(-\dfrac{11}{18}\) ② \(-\dfrac{5}{9}\) ③ \(-\dfrac{1}{2}\) ④ \(-\dfrac{4}{9}\) ⑤ \(-\dfrac{7}{18}\) 정답 ④
그림과 같이 곡선 \(y=x^2\) 과 양수 \(t\) 에 대하여 세 점 \({\rm O}(0,\;0),\;\; {\rm A}(t,\;0),\;\; {\rm B} \left ( t,\; t^2 \right ) \) 을 지나는 원 \(C\) 가 있다. 원 \(C\) 의 내부와 부등식 \(y \le x^2\) 이 나타내는 영역의 공통부분의 넓이를 \(S(t)\) 라 할 떄, \(S'(1)=\dfrac{p \pi +q}{4}\) 이다.\(p^2 +q^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 정수이다.) 정답 13
모든 계수가 정수인 삼차함수 \(y=f(x)\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 이다.(나) \(f(1)=5\)(다) \(1
\(x=0\) 에서 극댓값을 갖는 모든 다항함수 \(f(x)\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 함수 \(\left | f(x) \right |\) 은 \(x=0\) 에서 극댓값을 갖는다.ㄴ. 함수 \(f \left ( \left | x \right | \right )\) 은 \(x=0\) 에서 극댓값을 갖는다.ㄷ. 함수 \(f(x)-x^2 \left | x \right |\) 은 \(x=0\) 에서 극댓값을 갖는다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
좌표평면 위에 점 \({\rm A}(0,\;2)\) 가 있다. \(0
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\) 일 때, \(f(x)\) 가 미분가능하면 \(f'(-x)=f'(x)\) 이다.ㄴ. 임의의 실수 \(x\) 에 대하여 \( \left | f(x) \right | \le Mx^2\) 이면 \(f'(0)=0\) 이다. (단, \(M\) 은 양의 상수이다.)ㄷ. \(\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(c+h)+f(c-h)-2f(c)}{h} =0\) 이면 \(f(x)\) 는 \(x=c\) 에서 미분 가능하다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③
그림과 같이 구간 \([0,\;5]\) 를 정의역으로 하는 두 함수 \(f(x),\;g(x)\) 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?ㄱ. 함수 \(\dfrac{g(x)}{f(x)}\) 는 \(x=2\) 에서 연속이다. ㄴ. 함수 \((g \circ f)(x)\) 는 \(x=1\) 에서 연속이다.ㄷ. 함수 \(f(x)g(x)\) 는 \(x=4\) 에서 미분가능하다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
그림과 같이 편평한 바닥에 \(60^{\circ}\) 로 기울어진 경사면과 반지름의 길이가 \(0.5 \rm m\) 인 공이 있다. 이 공의 중심은 경사면과 바닥이 만나는 점에서 바닥에 수직으로 높이가 \(21 \rm m\) 인 위치에 있다. 이 공을 자유낙하 시킬 때, \(t\) 초 후 공의 중심의 높이 \(h(t)\) 는 \(h(t)=21-5t^2 (\rm m)\) 라고 한다. 공이 경사면과 처음으로 충돌하는 순간, 공의 속도는? (단, 경사며면의 두께와 공기의 저항은 무시한다.) ① \(-20 \rm m\)/초 ② \(-17 \rm m\)/초 ③ \(-15 \rm m\)/초 ④ \(-12 \rm m\)/초 ⑤ \(-10 \rm m\)/초 정답 ①