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목록2022/06/09 (19)
수악중독
숫자 $1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5$ 중에서 서로 다른 $4$ 개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 네 자리의 자연수 중에서 임의로 하나의 수를 택할 때, 택한 수가 $5$ 의 배수 또는 $3500$ 이상일 확률은? ① $\dfrac{9}{20}$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{11}{20}$ ④ $\dfrac{3}{5}$ ⑤ $\dfrac{13}{20}$ 더보기 정답 ④
집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X \to X$ 의 개수를 구하시오. (가) $f(f(1))=4$ (나) $f(1) \le f(3) \le f(5)$ 더보기 정답 $115$
주머니에 $1$ 부터 $12$ 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 이는 $12$ 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $3$ 개의 공을 동시에 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 작은 수부터 크기 순서대로 $a, \; b, \; c$ 라 하자. $b-a \ge 5$ 일 때, $c-a \ge 10$ 일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $9$
최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{2}$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=\begin{cases} \ln |f(x)| & (f(x) \ne 0) \\ 1 & (f(x)=0) \end{cases}$$ 이고 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 $g(x)$ 의 극솟값은? (가) 함수 $g(x)$ 는 $x \ne 1$ 인 모든 실수 $x$ 에서 연속이다. (나) 함수 $g(x)$ 는 $x=2$ 에서 극대이고, 함수 $|g(x)|$ 는 $x=2$ 에서 극소이다. (다) 방정식 $g(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $3$ 이다. ① $\ln \dfrac{13}{27}$ ② $\ln \dfrac{16}{27}$ ③ $\ln \dfrac{19}{27}$ ④ $\ln \dfr..
그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에서 선분 $\rm OA$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하고, $\angle \rm OAP$ 를 이등분하는 직선과 세 선분 $\rm HP, \; OP, \; OB$ 의 교점을 각각 $\rm Q, \; R, \; S$ 라 하자. $\angle \rm APH = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm AQH$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm PSR$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\theta^3 \times g(\theta)}{f(\t..
양수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=\dfrac{x^2-ax}{e^x}$$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $$f(x)=f'(t)(x-t)+f(t)$$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$ 라 하자. $g(5)+ \lim \limits_{t \to 5} g(t)=5$ 일 때, $\lim \limits_{t \to k-}g(t) \ne \lim \limits_{t \to k+}g(t)$ 를 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 값의 합은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $16$
좌표평면에서 직선 $y=2x-3$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 가 있다. 두 점 ${\rm A}(c, \; 0)$, ${\rm B}(-c, \; 0)\; (c>0)$ 에 대하여 $\overline{\rm PB}-\overline{\rm PA}$ 의 값이 최대가 되도록 하는 점 $\rm P$ 의 좌표가 $(3, \; 3)$ 일 때, 상수 $c$ 의 값은? ① $\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$ ② $\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$ ③ $3\sqrt{2}$ ④ $\dfrac{9}{2}$ ⑤ $\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$ 더보기 정답 ①
초점이 $\rm F$ 인 포물선 $y^2=8x$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\rm P$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 포물선 $y^2=8x$ 의 준선과 만나는 점을 $\rm F'$ 라 하자. 점 $\rm F'$ 을 초점, 점 $\rm P$ 를 꼭짓점으로 하는 포물선이 포물선 $y^2=8x$ 와 만나는 점 중 $\rm P$ 가 아닌 점을 $\rm Q$ 라 하자. 사각형 $\rm PF'QF$ 의 둘레의 길이가 $12$ 일 때, 삼각형 $\rm PF'Q$ 의 넓이는 $\dfrac{q}{p}\sqrt{2}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm P$ 의 $x$ 좌표는 $2$ 보다 작고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $23$
좌표평면에서 한 변의 길이가 $4$ 인 정육각형 $\rm{ABCDEF}$의 변 위를 움직이는 점 $\rm {P}$ 가 있고, 점 $\rm {C}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 위를 움직이는 점 $\rm Q$ 가 있다. 두 점 $\rm P, \; Q$ 와 실수 $k$ 에 대하여 점 $\rm X$가 다음 조건을 만족시킬 때, $\left | \overrightarrow{\rm CX} \right |$ 의 값이 최소가 되도록 하는 $k$ 의 값을 $\alpha$, $\left | \overrightarrow{\rm CX} \right |$ 의 값이 최대가 되도록 하는 $k$ 의 값을 $\beta$ 라 하자. (가) $\overrightarrow{\rm CX} = \dfrac{1}{2} \ov..