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목록2020/12 (30)
수악중독
상수 $k\; (k>1)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$ 이 있다. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n 1$ 이므로 방정식 $2^x=kx+1$ 은 오직 하나의 양의 실근 $d$ 를 갖는다. 따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n+1}-a_n=d$ 이고, 수열 $\{a_n\}$ 은 공차가 $d$ 인 등차수열이다. 점 ${\rm Q}_n$ 의 좌표가 $\left ( a_{n+1}, \; 2^{a_n} \right )$ 이므로 $$A_n = \dfrac{1}{2} (a_{n+1} - a_n ) \left ( 2^{a_{n+1}}-2^{a_n} \right )$$ 이다. $\dfrac{A_3}{A_1} = 16$ 이므로 $d$ 의 값은 $\boxed{ \; (가) \; }..
두 다항함수 $f(x), \; g(x)$ 가 $$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)+g(x)}{x} = 3, \; \; \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)+3}{xg(x)} = 2$$ 를 만족시킨다. 함수 $h(x)=f(x)g(x)$ 에 대하여 $h'(0)$ 의 값은? ① $27$ ② $30$ ③ $33$ ④ $36$ ⑤ $39$ 더보기 정답 ①
좌표평면의 원점에 점 $\rm P$ 가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $2$ 이하이면 점 $\rm P$ 를 $x$ 축의 양의 방향으로 $3$ 만큼, $3$ 이상이면 점 $\rm P$ 를 $y$ 축의 양의 방향으로 $1$ 만큼 이동시킨다. 이 시행을 $15$ 번 반복하여 이동된 점 $\rm P$ 와 직선 $3x+4y=0$ 사이의 거리를 확률변수 $X$ 라 하자. ${\rm E}(X)$ 의 값은? ① $13$ ② $15$ ③ $17$ ④ $19$ ⑤ $21$ 더보기 정답 ③
$\dfrac{1}{4}
실수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(a-2)x^{2n+1}+2x}{3x^{2n}+1}$$ 라 하자. $(f \circ f)(1)=\dfrac{5}{4}$ 가 되도록 하는 모든 $a$ 의 값의 합은? ① $\dfrac{11}{2}$ ② $\dfrac{13}{2}$ ③ $\dfrac{15}{2}$ ④ $\dfrac{17}{2}$ ⑤ $\dfrac{19}{2}$ 더보기 정답 ③
확률변수 $X$ 는 평균이 $8$, 표준편차가 $3$ 인 정규분포를 따르고, 확률변수 $Y$ 는 평균이 $m$, 표준편차가 $\sigma$ 인 정규분포를 따른다. 두 확률변수 $X, \; Y$ 가 $${\rm P}(4 \le X \le 8) + {\rm P}(Y \ge 8) = \dfrac{1}{2}$$ 을 만족시킬 때, ${\rm P} \left ( Y \le 8+\dfrac{2\sigma}{3} \right )$ 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? ① $0.8351$ ② $0.8413$ ③ $0.9332$ ④ $0.9772$ ⑤ $0.9938$ 더보기 정답 ④
실수 $a\; (a>1)$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=(x+1)(x-1)(x-a)$$ 라 하자. 함수 $$g(x)=x^2 \displaystyle \int_0^x f(t) dt - \int_0^x t^2 f(t) dt$$ 가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 $a$ 의 최댓값은? ① $\dfrac{9\sqrt{2}}{8}$ ② $\dfrac{3\sqrt{6}}{4}$ ③ $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ④ $\sqrt{6}$ ⑤ $2\sqrt{2}$ 더보기 정답 ④
함수 $f(x)= \pi \sin 2\pi x$ 에 대하여 정의역이 실수 전체의 집합이고, 치역이 집합 $\{0, \; 1\}$ 인 함수 $g(x)$ 와 자연수 $n$ 이 다음 조건을 만족시킬 때, $n$ 의 값은? 함수 $h(x)=f(nx)g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이고 $$\displaystyle \int_{-1}^1 h(x)dx =2, \;\;\; \int_{-1}^1 xh(x) dx = -\dfrac{1}{32}$$ 이다. ① $8$ ② $10$ ③ $12$ ④ $14$ ⑤ $16$ 더보기 정답 ⑤
수열 $\{a_n\}$ 은 $0
수열 $\{a_n\}$ 은 $0