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수악중독
그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 ${\rm A} \left (0, \; 2+2\sqrt{2} \right )$, ${\rm B}(-2, \; 0)$, ${\rm C}(2, \; 0)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 점 $\rm B$ 에서 선분 $\rm AC$ 에 내린 수선의 발을 $\rm D$, 점 $\rm C$ 에서 선분 $\rm AB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm E$, 선분 $\rm BD$ 와 선분 $\rm CE$ 가 만나는 점을 $\rm F$ 라 할 때, 사각형 $\rm AEFD$ 의 둘레의 길이를 $l$ 이라 하자. $l^2 = a+b\sqrt{2}$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 자연수이다.)정답 $96$
좌표공간에서 원점 $\rm O$ 와 점 $\rm A(4, \; 0, \; 0)$ 에 대하여 평면 $x+y+\sqrt{2}z=0$ 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left | \overrightarrow{\rm OP} \right |$ 는 $9$ 이하의 자연수이다.(나) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm AP} = 6$ $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm OP}$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값을 구하시오. 정답 $86$
좌표평면에서 두 점 $\rm A(-2, \; 0)$, $\rm B(2, \; 0)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 직사각형의 넓이의 최댓값은? 직사각형 위를 움직이는 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overline{\rm PA} + \overline{\rm PB}$ 의 값은 점 $\rm P$ 의 좌표가 $(0, \; 6)$ 일 때 최대이고, $\left ( \dfrac{5}{2}, \; \dfrac{3}{2} \right )$ 일 때 최소이다. ① $\dfrac{200}{19}$ ② $\dfrac{210}{19}$ ③ $\dfrac{220}{19}$ ④ $\dfrac{230}{19}$ ⑤ $\dfrac{240}{19}$ 정답 ⑤
최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 네 개의 수 $f(-1), \; f(0), \; f(1), \; f(2)$ 가 순서대로 등차수열을 이루고, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(-1, \; f(-1))$ 에서의 접선과 점 $(2, \; f(2))$ 에서의 접선이 점 $(k, \;0)$ 에서 만난다. $f(2k) = 20$ 일 때, $f(4k)$ 의 값을 구하시오. (단, $k$ 는 상수이다.) 정답 $42$