타원과 쌍곡선의 정의_난이도 중 (2025년 3월 고3 기하 29번)

 

 

두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0)$, $\mathrm{F}'(-c, 0)$ ($c > 0$)인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{5} = 1$이 있다. 직선 $x = c$가 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$, 제$4$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}'$이라 하자. 선분 $\mathrm{F}'\mathrm{P}$ 위에 $\mathrm{P}\mathrm{P}' = \mathrm{Q}\mathrm{P}'$인 점 $\mathrm{Q}$를 잡자. 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{P}'$을 초점으로 하고 점 $\mathrm{Q}$를 지나는 타원의 장축의 길이는 $\dfrac{q}{p}$이다. $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 

 

 

정답 $128$