포물선의 정의 & 타원의 정의_난이도 상 (2025년 3월 고3 기하 30번)

 

 

두 초점이 $\mathrm{F}(0, 4)$, $\mathrm{F}'(0, -4)$이고, 장축의 길이가 $10$인 타원이 있다. 이 타원 위에 있는 제1사분면 위의 점 중 $\angle \mathrm{F}'\mathrm{F}\mathrm{P} = \dfrac{\pi}{3}$를 만족시키는 점 $\mathrm{P}$에 대하여 직선 $\mathrm{FP}$가 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 점 $\mathrm{Q}$를 초점으로 하고 준선이 $x = a$ ($a < 0$)인 포물선이 점 $\mathrm{P}$를 지난다. 직선 $\mathrm{FP}$가 이 포물선과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{R}$이라 할 때, $\mathrm{PR} = p + q\sqrt{3}$이다. $p + q$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수이고, $p$, $q$는 유리수이다.) 

정답 $60$