그림과 같이 한 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 에 대하여 $$\overline{\mathrm{AB}}=4, \quad \overline{\mathrm{BC}}=2\sqrt{30}, \quad \overline{\mathrm{CD}}=8$$ 이다. $\angle \mathrm{BAC}=\alpha, \; \angle \mathrm{ACD}=\beta$ 라 할 때, $\cos (\alpha + \beta)=-\dfrac{5}{12}$ 이다. 두 선분 $\mathrm{AC}$ 와 $\mathrm{BD}$ 의 교점을 $\mathrm{E}$ 라 할 때, 선분 $\mathrm{AE}$ 의 길이는? $\left (\text{단, } 0<\alpha < \dfrac{\pi}{2}, \; 0<\beta <\dfrac{\pi}{2} \right )$
① $\sqrt{6}$ ② $\dfrac{\sqrt{26}}{2}$ ③ $\sqrt{7}$ ④ $\dfrac{\sqrt{30}}{2}$ ⑤ $2\sqrt{2}$
