함수의 그래프와 미분_난이도 상 (2024년 3월 전국연합 고3 미적분 30번)

 

 

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 자연수 $m$ 에 대하여 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{f(x)\left (\dfrac{x}{m} \right )^n +x}{\left (\dfrac{x}{m} \right )^n+1}$$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 는다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 함수 $g(x)$ 는 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 미분가능하고, $g'(m+1) \le 0$ 이다.

(나) $g(k)g(k+1)=0$ 을 만족시키는 자연수 $k$ 의 개수는 $3$ 이다.

(다) $g(l) \ge g(l+1)$ 을 만족시키는 자연수 $l$ 의 개수는 $3$ 이다.

 

$g(12)$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $84$