고차방정식_복이차방정식_난이도 중상 (2023년 6월 전국연합 고1 18번)

 

 

다음은 자연수 $n$ 에 대하여 $x$ 에 대한 사차방정식 $$4x^4 - 4(n+2)x^2 + (n-2)^2=0$$ 이 서로 다른 네 개의 정수해를 갖도록 하는 $20$ 이하의 모든 $n$ 의 값을 구하는 과정이다.

 

$P(x)=4x^4-4(n+2)x^2+(n-2)^2$ 이라 하자.

$x^2=X$ 라 하면 주어진 방정식 $P(x)=0$ 은 $4X^2-4(n+2)X+(n-2)^2=0$ 이고 근의 공식에 의해 $X=\dfrac{n+2 \pm \sqrt{\boxed{\text{ (가) }}}}{2}$ 이다.

그러므로 $X= \left ( \sqrt{\dfrac{n}{2}}+1 \right )^2$ 또는 $X=\left ( \sqrt{\dfrac{n}{2}}-1 \right )^2$ 에서 $x=\sqrt{\dfrac{n}{2}}+1$ 또는 $x=-\sqrt{\dfrac{n}{2}}-1$ 또는 $x=\sqrt{\dfrac{n}{2}}-1$ 또는 $x=-\sqrt{\dfrac{n}{2}}+1$ 이다. 

방정식 $P(x)=0$ 이 정수해를 갖기 위해서는 $\sqrt{\dfrac{n}{2}}$ 이 자연수가 되어야 한다. 

따라서 자연수 $n$ 에 대하여 방정식 $P(x)=0$ 이 서로 다른 네 개의 정수해를 갖도록 하는 $20$ 이하의 모든 $n$ 의 값은 $\boxed{\text{ (나) }}, \; \boxed{\text{ (다) }}$ 이다.

 

위의 (가)에 알맞은 식을 $f(n)$ 이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $a, \; b$ 라 할 때, $f(b-a)$ 의 값은? (단, $a<b$)

 

① $48$          ② $56$          ③ $64$          ④ $72$          ⑤ $80$

 

정답 ⑤