$-\dfrac{3}{2}\pi \le x \le \dfrac{3}{2}\pi$ 에서 정의된 함수 $$f(x)=a \cos \dfrac{2}{3}x + a \; (a \gt 0)$$ 이 있다. 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 직선 $y=\dfrac{a}{2}$ 와 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{B, \; C}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 정삼각형일 때, $a$ 의 값은?
① $\dfrac{\sqrt{3}}{3}\pi$ ② $\dfrac{5\sqrt{3}}{12}\pi$ ③ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi$ ④ $\dfrac{7\sqrt{3}}{12}\pi$ ⑤ $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\pi$
