그림과 같이 $\mathrm{\overline{AB}=\overline{AC}=1}$, $\angle \mathrm{BAC}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 모양의 종이가 있다. 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 점 $\mathrm{D}$, 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{E}$, 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 점 $\mathrm{F}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{EF}$ 를 접는 선으로 하여 점 $\mathrm{A}$ 가 점 $\mathrm{D}$ 와 겹쳐지도록 접었다. 삼각형 $\mathrm{BDE}$ 와 삼각형 $\mathrm{DCF}$ 의 외접원의 반지름의 길이의 비가 $2:1$ 일 때, 선분 $\mathrm{DF}$ 의 길이는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 고려하지 않으며, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)
