수학1_지수함수와 로그함수_최대최소_난이도 중

두 양수 \(x,\;y\) 에 대하여 등식 \((\log _3 x)^2 +(\log _3 y)^2 = \log _9 x^2 + \log _9 y^2\) 이 성립할 때, \(xy\) 의 최댓값은 \(M\), 최솟값은 \(m\) 이다. \(M+m\) 의 값을 구하시오. 

정답 10

\(\log_3 x=X,\; \log_3 y=Y\) 라고 하면 \(\log_9 x^2 = \dfrac{2}{2} \log_3 x = X\) 이고, \(\log_9 y^2 = \dfrac{2}{2} \log_3 y = Y\) 가 된다. 따라서 주어진 식은 $$X^2+Y^2=X+Y$$ 가 되고 \(X+Y= \log_3 x + \log_3 y = \log_3 xy\) 이므로 \(xy=3^{X+Y}\) 가 된다. 결국 \(X+Y\) 가 최대일 때, \(xy\)도 최대이고 \(X+Y\) 가 최소일 때 \(xy\) 도 최소가 된다 따라서 \(X+Y=k\) 라고 하면 원 \(\left (X-\dfrac{1}{2} \right ) ^2 +\left ( Y-\dfrac{1}{2} \right )^2 = \dfrac{1}{2}\) 에 직선 \(Y=-X+k\) 가 접할 때가 \(k\) 가 최대 최소가 된다. 즉, 원의 중심 \(\left ( \dfrac{1}{2},\; \dfrac{1}{2}\right )\) 에서 직선 \(X+Y-k=0\) 까지의 거리가 반지름 \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) 와 같을 때 \(k\) 가 최대, 최소가 되므로 \[\dfrac{ \left | \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-k \right | }{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\] 따라서 \(1-k= \pm 1\) 일 때가 최대, 최소일 때다. 결국 \(k\) 의 최댓값은 \(2\), 최솟값은 \(0\) 이 되고, \(xy\) 의 최댓값은 \(3^2=9\), 최솟값은 \(3^0=1\) 이 된다. \[ \therefore M=9,\; m=1,\;\;\; \therefore M+m=10\] 이다.