등차중항 & 여러 가지 수열의 합_난이도 중 (2020년 11월 전국연합 고2 19번)

 

 

다음은 공차가 $1$ 보다 크고 $a_3 + a_5 =2$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^5 \left (a_k ^2-5 |a_k| \right )$ 의 값이 최소가 되도록 하는 수열 $\{a_n\}$ 의 공차를 구하는 과정이다.

 

$a_3+a_5=2$ 에서 $a_4 = \boxed{ (가) }$ 

등차수열 $\{a_n\}$ 의 공차를 $d$ 라 하고

$\sum \limits_{k=1}^5 a_k ^2$ 과 $\sum \limits_{k=1}^5 |a_k|$ 를 각각 $d$ 에 대한 식으로 나타내면

$$\begin{aligned} & \sum \limits_{k=1}^5 a_k ^2 = 15d^2-10d+5 \\ & \sum \limits_{k=1}^5 |a_k| = \boxed{ (나) }\end{aligned}$$

따라서 $\sum \limits_{k=1}^5 \left ( a_k ^2 - 5 |a_k| \right )$ 의 값이 최소가 되도록 하는

수열 $\{a_n\}$ 의 공차는 $\boxed{ (다) }$ 이다.

 

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q$ 라 하고, (나)에 알맞은 식을 $f(d)$ 라 할 때, $f(p+2q)$ 의 값은?

 

① $21$         ② $23$          ③ $25$          ④ $27$          ⑤ $29$

 

정답 ④