다항식의 연산&대칭이동_난이도 중 (2019년 11월 전국연합 고1 19번)

 

 

곡선 $y=x^2$ 위의 임의의 점 ${\rm A} \left (t, \; t^2 \right ) \; (0<t<1)$ 을 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이동한 점을 $\rm B$ 라 하고 두 점 $\rm A, \; B$ 에서 $y$ 축에 내린 수선의 발을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. 다음은 사각형 $\rm ABDC$ 의 넓이가 $\dfrac{1}{8}$ 이 되는 상수 $t$ 의 값을 구하는 과정이다.

 

점 $\rm A$ 에서 $y$ 축에 내린 수선의 발이 $\rm C$ 이므로 $\overline{\rm AC}=t$

 

점 $\rm B$ 에서 $y$ 축에 내린 수선의 발이 $\rm D$ 이므로 $\overline{\rm BD}=t^2$

 

$\overline{\rm DC}=\boxed{ (가) }$ 이므로 

 

사각형 $\rm ABDC$ 의 넓이는 $\dfrac{1}{2}t^2 \times \left ( \boxed{ (나) }\right )$

 

사각형 $\rm ABDC$ 의 넓이가 $\dfrac{1}{8}$ 이므로

 

$\dfrac{1}{2}t^2 \times \left ( \boxed{ (나) } \right ) = \dfrac{1}{8}$

 

따라서 $t= \boxed{ (다) }$

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(t), \; g(t)$ 라 하고, (다)에 알맞은 수를 $k$ 라 할 때, $f(k) \times g(k)$ 의 값은?

 

① $\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}$          ② $\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$          ③ $\dfrac{\sqrt{3}+1}{4}$         ④ $\dfrac{2\sqrt{2}-1}{2}$          ⑤ $\dfrac{2\sqrt{2}+1}{4}$

 

정답 ①