이차방정식 근과 계수와의 관계&고차방정식_난이도 중하 (2018년 6월 교육청 고1 20번)

 

 

다음은 $x$ 에 대한 삼차방정식 $$2x^3-5x^2+(k+3)x-k=0$$ 의 서로 다른 세 실근이 직각삼각형의 세 변의 길이일 때, 상수 $k$ 의 값을 구하는 과정의 일부이다.

 

삼차방정식 $2x^3-5x^2+(k+3)x-k=-$ 에서 $$(x-1) \left ( \boxed{ (가) } +k \right ) = 0$$ 이므로 삼차방정식 $2x^3-5x^2+(k+3)x-k=0$ 의 서로 다른 세 실근은 $1$ 과 이차방정식 $\boxed{ (가) } +k=0$ 의 두 근이다. 이차방정식 $\boxed{ (가) }+k=0$ 의 두 근을 $\alpha, \; \beta \; (\alpha > \beta)$ 라 하자. $1, \; \alpha, \; \beta$ 가 직각삼각형의 세 변의 길이가 되는 경우는 다음과 같이 $2$ 가지로 나눌 수 있다.

(i) 빗변의 길이가 $1$ 인 경우

     $\alpha^2 + \beta^2=1$ 이므로 $(\alpha + \beta)^2-2 \alpha \beta=1$ 이다.

     그러므로 $k=\boxed{ (나) }$ 이다.

     그런데 $\boxed{ (가) }+k=0$ 에서 판별식 $D<0$ 이므로 $\alpha, \; \beta$ 는 실수가 아니다.

     따라서 $1, \; \alpha, \; \beta$ 는 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 없다.

(ii) 빗변의 길이가 $\alpha$ 인 경우

     $1+\beta^2=\alpha^2$ 이므로 $(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = 1$ 이다.

     그러므로 $k=\boxed{ (다) }$ 이다.

     이때, $1, \; \alpha, \; \beta$ 는 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있다.

따라서 (i) 과 (ii) 에 의하여 $k=\boxed{ (다) }$ 이다.

 

위의 (가)에 알맞은 식을 $f(x)$ 라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q$ 라 할 때, $f(3) \times \dfrac{q}{p}$ 의 값은?

 

① $\dfrac{13}{2}$          ② $\dfrac{15}{2}$          ③ $\dfrac{17}{2}$          ④ $\dfrac{19}{2}$          ⑤ $\dfrac{21}{2}$

 

정답 ①