인수분해&이차함수의 최대최소_난이도 상 (2018년 6월 교육청 고1 30번)

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 일차식 $x-a$ 를 인수로 가지는 다항식 $P(x)=x^4-290x^2+b$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

계수와 상수항이 모두 정수인 서로 다른 세 개의 다항식의 곱으로 인수분해된다.

 

모든 다항식 $P(x)$ 의 개수를 $p$ 라 하고, $b$ 의 최댓값을 $q$ 라 할 때, $\dfrac{q}{(p-1)^2}$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $146$