세 꼭짓점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이_난이도 중 (2018년 9월 교육청 고1 30번)

 

 

그림과 같이 세 점 ${\rm A}(0, \; 4)$, ${\rm B}(-3, \; 0)$, ${\rm C}(4, \; -3)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm AC$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 를 지나고 직선 $\rm AB$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm Q$, 점 $\rm P$ 를 지나고 직선 $\rm BC$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm AB$ 와 만나는 점을 $\rm R$, 점 $\rm Q$ 를 지나고 직선 $\rm AC$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm AB$ 와 만나는 점을 $S$ 라 하자. 사다리꼴 $\rm PRSQ$ 의 넓이의 최댓값이 $\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\overline{\rm AP} < \overline{\rm PC}$ 이고 $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $43$