그림과 같이 $a>1$ 인 실수 $a$ 에 대하여 두 곡선 $$y=a^{-2x}-1, \quad y=a^x-1$$ 이 있다. 곡선 $y=a^{-2x}-1$ 과 직선 $y=-\sqrt{3}x$ 가 서로 다른 두 점 $\rm O, \; A$ 에서 만난다. 점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $\rm OA$ 에 수직인 직선이 곡선 $y=a^x-1$ 과 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\rm B$ 라 하자. $\overline{\rm OA}:\overline{\rm OB}=\sqrt{3}:\sqrt{19}$ 일 때, 선분 $\rm AB$ 의 길이를 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.)
