${}_{2n}{\rm C}_2 = 2 \times {}_n{\rm C}_2 +n^2$ 의 증명

 

 

${}_{2n}{\rm C}_2 = \dfrac{(2n)!}{(2n-2)! \times 2!} = \dfrac{2n(2n-1)}{2} = 2n^2-n$

$2 \times {}_n{\rm C}_2 + n^2 = 2 \times \dfrac{n!}{(n-2)! \times 2!} +n^2  = n(n-1)+n^2=2n^2-n$

 

쉽게 좌변과 우변이 같다는 것을 보일 수 있다.

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이걸 이렇게 생각해 볼 수도 있다.

$2n$ 명 중에서 두 명을 뽑는 경우의 수를 구한다고 가정하면, 다음의 세 가지 경우로 나누어 볼 수 있다.

 

일단 $2n$ 명을 $n$ 명 $n$ 명의 두 그룹 A, B 로 나눈다.

1) A 그룹에서만 두 명을 뽑는 경우

2) B 그룹에서만 두 명을 뽑는 경우

3) A 그룹에서 한 명, B 그룹에서 한 명을 뽑는 경우

 

1), 2), 3) 각각의 경우의 수는 ${}_n{\rm C}_2, \quad {}_n{\rm C}_2, \quad {}_n{\rm C}_1 \times {}_n{\rm C}_1$ 이 된다.

따라서 이 세가지 경우의 수를 다 더하면 ${}_{2n}{\rm C}_2$ 와 같아져야 한다.

${}_{2n}{\rm C}_2 = {}_n{\rm C}_2 + {}_n{\rm C}_2 + n \times n = 2 \times {}_n{\rm C}_2 + n^2$