함수의 극대와 극소&정적분 형태로 정의된 함수_난이도 중상 (2022년 7월 전국연합 고3 20번)

최고차항의 계수가 $3$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$\displaystyle g(x)=x^2 \int_0^x f(t)dt-\int_0^x t^2f(t)dt$$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 함수 $g(x)$ 는 극값을 갖지 않는다.

(나) 방정식 $g'(x)=0$ 의 모든 실근은 $0, \; 3$ 이다.

 

$\displaystyle \int_0^3 |f(x)|dx$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $8$