내분점과 외분점&로그의 성질(2021년 6월 전국연합 고2 28번)

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 좌표평면 위에 두 점 ${\rm A}(a, \; \log_4b), \;\; {\rm B} \left ( 1, \; \log_8 \sqrt[4]{27} \right )$ 이 있다. 선분 $\rm AB$ 를 $2:1$ 로 외분하는 점이 곡선 $y=-\log_4(3-x)$ 위에 있고, 집합 $ \{ n \; | \; b <2^n \times a \le 32b, \; n은 \; 정수 \}$ 의 모든 원소의 합은 $25$ 이다. $a+b$ 의 최댓값을 구하시오.

 

정답 $15$