쌍곡선의 접선과 점근선

쌍곡선의 방정식을 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2}=1\), 쌍곡선 위의 임의의 점 \({\rm P}(x_1 , \;\;y_1 )\) 이라 하면 접선의 방정식은 \(\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} =1\) 이고 점근선의 방정식은 \(y= \pm \dfrac{b}{a} x\) 이다. \(\rm A, \;\;B\) 의 좌표를 \({\rm A} (x_2 , \;\; y_2 ), \;\;\; {\rm B} (x_3 ,\;\; y_3 )\) 라고 하고 접선의 방정식 \(\dfrac{x_1 x}{a^2}- \dfrac{y_1 y}{b^2} =1\) 과 점근선의 방정식 \(y= \pm \dfrac{b}{a} x\)를 연립하여 교점 \(\rm A, \;\;B\) 를 구하면 각각 \((x_2 , \;\;y_2 )= \left ( \dfrac{a^2 b}{bx_1 -ay_1},\;\; \dfrac{ab^2}{bx_1 - ay_1} \right )\), \((x_3 ,\;\; y_3) =\left (\dfrac{a^2 b}{bx_1 +ay_1}, \;\; - \dfrac{ab^2}{bx_1 +ay_1} \right )\) 이 된다.

\( \overline{\rm PA} : \overline{\rm PB} = | x_2 - x_1 | : | x_1 - x_3 | \)이므로 \(x_3 ,\;\; x_1 ,\;\; x_2\) 가 등차수열을 이룸을 보이면 \( \overline{\rm PA} = \overline{\rm PB}\) 가 됨을 알 수 있다. \(x_2 +x_3 = \dfrac{a^2 b}{bx_1 -ay_1} +\dfrac{a^2 b}{bx_1 +ay_1} = \dfrac{a^2b(2bx_1 )}{a^2 b^2}=2x_1\) 이 되므로 \(x_3, \;\; x_1 ,\;\; x_2\) 는 등차수열을 이루고 \( \overline{\rm PA} = \overline{\rm PB}\) 가 성립한다.

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