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수능 수학/수능수학

타원과 접선의 성질

수악중독 2009.07.01 11:48

타원과 접선의 성질

점 \(\rm F, \; F'\) 를 두 초점으로 하는 타원 위의 임의의 점 \(\rm P\) 와 그 점에서 타원에 접하는 접선 \(l\) 에 대하여 \(\rm Q\) : \(\rm P\) 를 제외한 직선 \(l\) 위의 임의의 점, \(\rm Q'\) : 선분 \(\overline{\rm QF'}\) 와 타원의 교점, \(\rm R\) : 직선 \(l\) 에 대한 점 \( \rm F\) 의 대칭점 일 때, 다음이 성립한다.

(1) \(\overline{\rm QF} + \overline{\rm  QF'} > \overline{\rm PF}+\overline{\rm PF'}\)

(2) \(\rm F', \; P, \; R\) 은 일직선 위에 있다.


증명

 (1) 

타원의 정의에 의하여 \(\overline{\rm Q'F} + \overline{\rm Q'F'}=\overline{\rm PF}+\overline{\rm PF'}\) 이고 \(\overline{\rm QF}+\overline{\rm QF'} > \overline{\rm Q'F}+\overline{\rm Q'F'}\)  이므로 \(\overline{\rm QF}+\overline{\rm QF'}>\overline{\rm PF}+\overline{\rm PF'}\) 이 성립한다.


(2

\( \rm F', \; P, \; R\) 이 일직선 위에 있지 않다고 한다면 \(\overline{\rm FR}\) 과 타원의 교점은 \(\rm P\) 가 아닌 다른 점이 될 것이고 이 점을 \( \rm S\) 라고 하자.  \(\rm P, \; S\) 가 모두 타원 위의 점이므로 \( \overline{\rm SF} + \overline{\rm SF'} = \overline{\rm PF} + \overline{\rm PF'} \) 가 성립하고, 점 \(\rm R\) 이 직선 \(l\) 에 대한 점 \(\rm F\) 의 대칭점이므로 \(\overline{\rm SF} < \overline{\rm SR}, \;\; \overline{\rm PR} = \overline{\rm PF}\) 가 성립한다. 하지만 이 경우 \(\overline{\rm SF} + \overline{\rm SF'} < \overline{\rm SR} + \overline{\rm SF'} <\overline{\rm PF'} + \overline{\rm PR} = \overline{\rm PF'} + \overline{\rm PF}\) 가 되어 타원의 정의에 모순되게 된다. 따라서 \(\rm F', \; P, \; R\) 은 일직선 위에 있다.



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