역함수&치환적분_난이도 상 (2020년 수능예비평가 미적분29번)

함수 $f(x)=e^x +x-1$ 과 양수 $t$ 에 대하여 함수 $$F(x) = \displaystyle \int_0^x \{ t-f(s)\} \;ds$$ 가 $x=\alpha$ 에서 최댓값을 가질 때, 실수 $\alpha$ 의 값을 $g(t)$ 라 하자. 미분가능한 함수 $g(t)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{f(1)}^{f(5)} \dfrac{g(t)}{1+e^{g(t)}} \; dt$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $12$