수열 활용&수열의 합_난이도 중상 (2018년 9월 평가원 나형 29번)

좌표평면에서 그림과 같이 길이가 $1$ 인 선분이 수직으로 만나도록 연결된 경로가 있다. 이 경로를 따라 원점에서 멀어지도록 움직이는 점 $\rm P$ 의 위치를 나타내는 점 ${\rm A}_n$ 을 다음과 같은 규칙으로 정한다.

(i) ${\rm A}_0$ 은 원점이다.

(ii) $n$ 이 자연수일 때, ${\rm A}_n$ 은 점 $ {\rm A}_{n-1}$ 에서 점 $\rm P$ 가 경로를 따라 $\dfrac{2n-1}{25}$ 만큼 이동한 위치에 있는 점이다.

예를 들어, 점 ${\rm A}_2$ 와 ${\rm A}_6$ 의 좌표는 각각 $\left ( \dfrac{4}{25}, \; 0 \right )$, $\left (1, \; \dfrac{11}{25} \right )$ 이다. 자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm A}_n$ 중 직선 $y=x$ 위에 있는 점을 원점에서 가까운 순서대로 나열할 때, 두 번째 점의 $x$ 좌표를 $a$ 라 하자. $a$ 의 값을 구하시오.

정답 $8$