수학적 귀납법 증명_난이도 중 (2016년 7월 교육청 나형 19번)

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^n (2k-1)(2n+1-2k)^2=\dfrac{n^2 \left (2n^2+1 \right )}{3}$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. 

(i) $n=1$ 일 때, (좌변)=$1$, (우변)=$1$ 이므로 주어진 등식은 성립한다.

(ii) $n=m$ 일 때, 등식

     $\sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(2m+1-2k)^2=\dfrac{m^2 \left (2m^2 +1 \right )}{3}$

     이 성립한다고 가정하자. $n=m+1$ 일 때, 

     $\sum \limits_{k=1}^{m+1} (2k-1)(2m+3-2k)^2$

     $=\sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(2m+3-2k)^2 + (가)$

     $= \sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(2m+1-2k)^2+(나)\times \sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(m+1-k)+(가)$

     $=\dfrac{(m+1)^2 \left \{ 2(m+1)^2 +1 \right \}}{3}$

     이다. 따라서 $n=m+1$ 일 때도 주어진 등식이 성립한다.

(i), (ii) 에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 등식이 성립한다.  

위의 (가) 에 알맞은 식을 $f(m)$, (나)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $f(3)+p$ 의 값은?

① $11$          ② $13$         ③ $15$           ④ $17$               ⑤ $19$

정답 ③