톨레미의 정리

톨레미의 정리는 그림과 같이 원에 내접하는 사각형의 네 변과, 두 대각선 사이의 관계를 나타낸다.

\[\overline{\rm AB} \times \overline{\rm CD} + \overline{\rm BC} \times \overline{\rm AD} = \overline{\rm AC} \times \overline{\rm BD}\]

\(\angle{\rm CAD} = \angle {\rm BAE}\) 가 되도록 \(\overline{\rm BD}\) 위에 점 \(\rm E\) 를 잡는다. 이때, \(\angle {\rm ABD}\) 와 \(\angle{\rm ACD}\) 는 호 $\rm AD$ 에 대한 원주각이므로 서로 같다. 또한 \(\angle {\rm ADB}\) 와 \(\angle {\rm ACB}\) 는 호 $\rm AB$ 에 대한 원주각이므로 서로 같다.

따라서 \(\triangle {\rm ADE}\) 와 \(\triangle {\rm ACB}\) 가 서로 닮음꼴이고 다음이 성립한다. \[\overline{\rm AD}:\overline{\rm DE} = \overline{\rm AC}:\overline{\rm BC}\] \[ \therefore \overline{\rm AD}\times\overline{\rm BC} = \overline{\rm DE} \times \overline{\rm AC} ~~~~~\cdots(1)\] 

또, \(\triangle {\rm ABE}\) 와 \(\triangle {\rm ACD}\) 가 서로 닮음꼴이고 다음이 성립한다. \[\overline{\rm AB}:\overline{\rm BE} = \overline{\rm AC}:\overline{\rm CD}\] \[ \therefore \overline{\rm AB} \times \overline{\rm CD} = \overline{\rm BE} \times \overline{\rm AC} ~~~~~\cdots(2)\] 

(1), (2) 식을 변변 더하면 \[ \overline{\rm AB} \times \overline{\rm CD} + \overline{\rm AD} \times \overline{\rm BC} = \overline{\rm AC} \times \left ( \overline{\rm BE} + \overline{\rm DE} \right )\]

이때, \(\overline{\rm BE} + \overline{\rm DE} = \overline{\rm BD} \) 이므로 \[ \overline{\rm AB} \times \overline{\rm CD} + \overline{\rm AD} \times \overline{\rm BC} = \overline{\rm AC} \times \overline{\rm BD}\] 가 성립한다.