기하와 벡터_공간도형_평면과 평면이 이루는 각_정사영이용_난이도 상

반지름의 길이가 $2$ 인 구의 중심 $\rm O$ 를 지나는 평면을 $\alpha$ 라 하고, 평면 $\alpha$ 와 이루는 각이 $45^{\rm o}$ 인 평면을 $\beta$ 라 하자. 평면 $\alpha$ 와 구가 만나서 생기는 원을 $C_1$, 평면 $\beta$ 와 구가 만나서 생기는 원을 $C_2$ 라 하자. 원 $C_2$ 의 중심 $\rm A$ 와 평면 $\alpha$ 사이의 거리가 $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ 일 때, 그림과 같이 다음 조건을 만족하도록 원 $C_1$ 위에 점 $\rm P$, 원 $C_2$ 위에 두 점 $\rm Q, \;R$ 를 잡는다.

 

(가) $\angle \rm QAR=90^{\rm o}$

(나) 직선 $\rm OP$ 와 직선 $\rm AQ$ 는 서로 평행하다.

 

평면 $\rm PQR$ 와 평면 $\rm AQPO$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 할 때, $\cos ^2 \theta=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

 

정답 $10$