수학1_수열_수학적 귀납법_괄호 채우기_난이도 중

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 등식 $\sum \limits_{k=1}^n (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{n} \right ) = \dfrac{n(n+5)}{2}$ 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

 

(i) $n=1$ 일 때, (좌변)=$3$, (우변)=$3$ 이므로 주어진 등식이 성립한다.

(ii) $n=m\;(n \geq 1)$ 일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 $\sum \limits_{k=1}^m (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{m} \right ) = \dfrac{m(m+5)}{2}$

     $n=m+1$ 일 때

        $\sum \limits_{k=1}^{m+1} (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{m+1} \right )$

        $=\sum \limits_{k=1}^{m} (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{m+1} \right ) + (가)$

        $=\sum \limits_{k=1}^{m} (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{m} \right )$

                                                                           $+ \dfrac{1}{(나)} \sum \limits_{k=1}^{m} (2k+1) + (가)$

        $=\sum \limits_{k=1}^{m} (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{m} \right )$

                                                                           $+ \dfrac{1}{(나)} \sum \limits_{k=1}^{m+1}( (가) )$

        $=\dfrac{(m+1)(m+6)}{2}$

즉, $n=m+1$ 일 때도 주어진 등식이 성립한다.

따라서, 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

 

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(m), \; g(m), \; h(k)$라 할 때, $f(3) \cdot g(3) \cdot h(3)$ 의 값은?

 

① $54$          ② $63$          ③ $72$          ④ $81$          ⑤ $90$

 

 

정답 ②