수악중독

사차함수 $f(x)=x^4 +ax^2 +b$ 에 대하여 $x \ge 0$ 에서 정의된 함수 $$g(x) = \displaystyle \int_{-x}^{2x} \{ f(t) - |f(t)|\} dt$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $0

함수 $f(x)=(x-1)|x-a|$ 의 극댓값이 $1$ 일 때, $\displaystyle \int_0^4 f(x) dx$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $\dfrac{4}{3}$ ② $\dfrac{3}{2}$ ③ $\dfrac{5}{3}$ ④ $\dfrac{11}{6}$ ⑤ $2$ 정답 ①

$ab0)$ 에 대하여 부등식 $$g(x)-k \ge xf(x)$$ 를 만족시키는 양의 실수 $x$ 가 존재할 때, 이 $x$ 의 값 중 최솟값을 $h(k)$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 와 $h(k)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 극댓값 $\alpha$ 를 갖고 $h(\alpha)=2$ 이다.(나) $h(k)$ 의 값이 존재하는 $k$ 의 최댓값은 $8e^{-2}$ 이다. $100 \left (a^2 + b^2 \right )$ 의 값을 구하시오. $\left ( 단, \; \lim \limits_{x \to \infty} f(x)=0 \right )$ 정답 $125$

양의 실수 전체의 집합에서 감소하고 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)>0$ 이다.(나) 임의의 양의 실수 $t$ 에 대하여 세 점 $(0, \; 0)$, $(t, \; f(t))$, $(t+1, \; f(t+1))$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 $\dfrac{t+1}{t}$ 이다. (다) $\displaystyle \int_1^2 \dfrac{f(x)}{x}\; dx = 2$ $\displaystyle \int_{\frac{7}{2}}^{\frac{11}{2}} \dfrac{f(x)}{x} \; dx = \dfrac{q}{p}$ 라 할 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답..

함수 $f(x)=e^x \left ( ax^3 + bx^2 \right )$ 과 양의 실수 $t$ 에 대하여 닫힌 구간 $[-t, \; t]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최댓값을 $M(t)$, 최솟값을 $m(t)$ 라 할 때, 두 함수 $M(t), \; m(t)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 양의 실수 $t$ 에 대하여 $M(t)=f(t)$ 이다.(나) 양수 $k$ 에 대하여 닫힌 구간 $[k, \; k+2]$ 에 있는 임의의 실수 $t$ 에 대해서만 $m(t)=f(-t)$ 가 성립한다.(다) $\displaystyle \int_1^5 \left \{ e^t \times m(t) \right \} \; dt = \dfrac{7}{3}-8e$ $f(k+1) = \dfrac{q}{p} e^{k+..

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 극댓값, $x=k$ 에서 극솟값을 갖는다. (단 $k$ 는 상수)(나) $1$ 보다 큰 모든 실수 $t$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^t \left | f'(x) \right | \; dx = f(t)+f(0)$ 이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\displaystyle \int_0^k f'(x) \; dx < 0$ㄴ. $0

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 양수 $k$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\dfrac{f(x)+|f(x)-k|}{2}$$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=0$ 에서만 미분가능하지 않다.(나) $g(0)=g(2)$ (다) $\displaystyle \int_0^2 |f(x)-g(x)| \; dx =8$ $g(1)+g(-1)$ 의 값을 구하시오. 정답 $9$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $a, \; b, \; c$ 는 상수이고, $0

최고차항의 계수가 $1$ 인 두 이차 다항함수 $f(x), \; h(x)$ 와 $g(x)= \displaystyle \int_a^{x-a} f'(t) \; dt$ (단, $a$ 는 양의 상수) 로 정의되는 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)-f(2b-x)=0$ 이다.(나) 방정식 $f(x)=0$ 의 두 실근의 차와 방정식 $g(x)=0$ 의 두 실근의 차는 모두 $b$ 이다. (단, $b$ 는 상수)(다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\{f(x)+g(x)+M\}h(x)=2f(x)g(x)$ 가 성립한다. $M$ 의 최댓값이 $16$ 일 때, $f(2b)+g \left ( \dfrac{a}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. 정답 $132$

미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x) = \displaystyle \int_{-x}^x f(t) \; dt$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x