(이과) 함수의 증가와 감소&미분가능&정적분의 최댓값_난이도 상

미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x) = \displaystyle \int_{-x}^x f(t) \; dt$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $x<0$ 일 때, $y=f(x)$ 의 그래프가 일차함수의 그래프의 일부이고, $x\ge 0$ 일 때, 네 실수 $a, \; b, \; c, \; d$ 에 대하여 $f(x)=a \sin (x+b)+cx+d$ 이다. 

(나) 함수 $g(x)$ 가 감소함수이고 $g'(0)=-2$ 이다.

(다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(f(x))+g(x+1) \le 0$ 이다.

$f(x)+x+1=0$ 을 만족시키는 양수 $x$ 의 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $\displaystyle \int_0^m f(x)+x+1 \; dx$ 의 최댓값이 $M$ 이다. $\dfrac{M}{\pi}$ 의 값을 구하시오.

정답 $2$