정적분으로 정의된 함수&이차함수의 최대최소_난이도 상

최고차항의 계수가 $1$ 인 두 이차 다항함수 $f(x), \; h(x)$ 와 $g(x)= \displaystyle \int_a^{x-a} f'(t) \; dt$  (단, $a$ 는 양의 상수) 로 정의되는 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)-f(2b-x)=0$ 이다.

(나) 방정식 $f(x)=0$ 의 두 실근의 차와 방정식 $g(x)=0$ 의 두 실근의 차는 모두 $b$ 이다. (단, $b$ 는 상수)

(다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\{f(x)+g(x)+M\}h(x)=2f(x)g(x)$ 가 성립한다.

$M$ 의 최댓값이 $16$ 일 때, $f(2b)+g \left ( \dfrac{a}{2} \right )$ 의 값을 구하시오.

정답 $132$