(이과) 정적분&함수의 그래프&최대와 최소_난이도 상 (2018년 4월 교육청 가형 30번)

함수 $f(x)=e^x \left ( ax^3 + bx^2 \right )$ 과 양의 실수 $t$ 에 대하여 닫힌 구간 $[-t, \; t]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최댓값을 $M(t)$, 최솟값을 $m(t)$ 라 할 때, 두 함수 $M(t), \; m(t)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 양의 실수 $t$ 에 대하여 $M(t)=f(t)$ 이다.

(나) 양수 $k$ 에 대하여 닫힌 구간 $[k, \; k+2]$ 에 있는 임의의 실수 $t$ 에 대해서만 $m(t)=f(-t)$ 가 성립한다.

(다) $\displaystyle \int_1^5 \left \{ e^t \times m(t) \right \} \; dt = \dfrac{7}{3}-8e$ 

$f(k+1) = \dfrac{q}{p} e^{k+1}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오.

(단, $a$ 와 $b$ 는 $0$ 이 아닌 상수, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이고, $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{x^3}{e^x} = 0$ 이다.)

정답 $49$