수악중독

\(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\left \{ 2^2+4^2+6^2+\cdots+(2n)^2 \right \} \left \{ 2^3+4^3+6^3+\cdots+(2n)^3 \right \}}{2^6+4^6+6^6+\cdots+(2n)^6}\) 의 값은? ① \(\dfrac{5}{24}\) ② \(\dfrac{1}{4}\) ③ \(\dfrac{7}{24}\) ④ \(\dfrac{1}{3}\) ⑤ \(\dfrac{3}{8}\) 정답 ③

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(1 \leq f'(x) \leq 3\) 이다. (나) 모든 정수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프는 점 \((4n, \;8n)\), 점 \((4n+1, \;8n+2)\), 점 \( (4n+2, \;8n+5)\), 점 \( (4n+3, \;8n+7)\) 을 모두 지난다. (다) 모든 정수 \(k\) 에 대하여 닫힌 구간 \([2k, \; 2k+1]\) 에서 함수 \(f(x)\) 의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다. \(\displaystyle \int_{3}^{6} f(x) dx=a\) 라 할 때, \(6a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(167\)

함수 \(f(x)=x^3 +3x^2 -2x-1\) 에 대하여 \(\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{1}{x-2} \displaystyle \int_2^x f(t) dt\) 의 값은? ① \(7\) ② \(9\) ③ \(11\) ④ \(13\) ⑤ \(15\) 정답 ⑤

모든 실수에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 구간 \([-1,\;1]\) 에서 \(f(x)=x^2\) 으로 정의되고, \(f'(x)\) 는 다음 두 조건을 만족한다. (가) \(f'(x+4)=f'(x)\) (나) \(f'(2-x)=f'(x)\) 이때, \(\displaystyle \int_0^{10} f(x) dx\) 의 값을 구하시오. 정답 \(10\)

함수 \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\) 에 대하여 \[F(x)=\displaystyle \int_0^x tf(x-t) dt\;\; (x \geq 0)\] 일 때, \(F'(a)=\ln 10\) 을 만족시키는 상수 \(a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(9\)

부등식 \(n< \displaystyle \int_0^2 \sqrt{27+2 \sin x} dx < n+1\) 을 만족하는 양의 정수 \(n\) 을 구하시오. 정답 \(10\)

실수 전체에서 함수 \(f(x)=(x^2+a)e^x\) 의 역함수가 존재하기 위한 상수 \(a\) 의 최소값을 \(m\) 이라 하자. 함수 \(g(x)=\left ( x^2+m \right ) e^x\)의 역함수를 \(h(x)\) 라 할 때, \(\displaystyle \int _{m}^{2e} h(x) dx\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ③

곡선 \(y=x(x+1)^4\) 에서 \(x\) 좌표가 \(t \; (t>0)\) 인 점을 \(\rm A\) 라 하자. 점 \(\rm B\) 가 곡선 \(y=\dfrac{4}{x}\; (x

\(x \geq 0\) 에서 정의된 삼차함수 \(f(x)\) 는 \(f(0)=0\) 이고, \(x>0\) 인 모든 실수 \(x\) 에서 \(f'(x) \geq 0\) 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\) 의 역함수 \(g(x)\) 에 대하여 함수 \(h(x)\) 를 \[h(x)=\displaystyle \int _0 ^x \left \{ f(t)-g(t) \right \} dt \;\; (x \geq 0) \] 이라 하면 \(y=h(x)\) 의 그래프는 그림과 같다. \(h(x)\) 가 \(x=6\) 일 때 극댓값 \(12\) 를 가지고, \(x=10\) 일 때 극솟값 \(4\) 를 가진다고 할 때, \(\displaystyle \int _0 ^{10} g(t) dt\) 의 값은? ① \(40\) ② \..

그림과 같이 두 점 \(\rm P,\;Q\) 는 각각 \((2,\;0), \;(0, \;-1)\) 에서 동시에 출발하여 점 \(\rm P\) 는 매초 \(3\) 의 속도로 \(x\) 축의 양의 방향으로 움직이고, 점 \(\rm Q\) 는 매초 \(1\) 의 속도록 \(y\) 축의 방향으로 움직인다.출발한 지 \(t\) 초 후의 위치를 각각 \(\rm P', \;Q'\) 라 하고 \(\triangle \rm OP'Q'\) 의 넓이를 \(S(t)\) 라 하자. \(\displaystyle \int _0 ^2 S(t) dt= \dfrac{q}{p}\) 일때, \(p^2 +q^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(29\)