수악중독

함수 $f(x)=x^3-6x^2$ 와 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 다음과 같이 정의한다. $$g(x)=\left \{ \begin{array}{ll} f(x)-f(t) & (x

닫힌 구간 $[0, \;1]$ 에서 증가하는 연속함수 $f(x)$ 가 $$\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=2, \;\;\; \int_0^1 |f(x)| dx = 2\sqrt{2}$$ 를 만족시킨다. 함수 $F(x)$ 가 $$F(x)=\displaystyle \int_0^x |f(t)|dt \;\;(0 \le x \le 1)$$ 일 때, $\displaystyle \int_0^1 f(x)F(x)dx$ 의 값은? ① $4-\sqrt{2}$ ② $2+\sqrt{2}$ ③ $5-\sqrt{2}$ ④ $1+2\sqrt{2}$ ⑤ $2+2\sqrt{2}$ 정답 ④

다음 조건을 만족시키는 $100$ 이하의 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. (가) $30 \le a \le 40$ 인 모든 실수 $a$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^{n} k(k-a) \le 0$ 이다.(나) $4 \le b \le 10$ 인 어떤 실수 $b$ 에 대하여 $\displaystyle \int_b^n (x-b)(x-3b) dx \ge 0$ 이다. 정답 $36$

삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\dfrac{f(2)}{f'(2)}$ 의 값은? (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)+f(-x)=0$ 이다.(나) $\displaystyle \int_0^1 f'(x) dx = \int_{-2}^2 f'(x) dx$ ① $-\dfrac{1}{7}$ ② $-\dfrac{2}{7}$ ③ $-\dfrac{3}{7}$ ④ $-\dfrac{4}{7}$ ⑤ $-\dfrac{5}{7}$ 정답 ②

다항함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^4}=1$(나) $f(1)=f'(1)=1$ $-1 \le n \le 4$ 인 정수 $n$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x-n)+n \; (n \le x < n+1)$$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 가 열린구간 $(-1, \;5)$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle \int_0^4 g(x)dx=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \;q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $137$

$0\le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$ 인 $\theta$ 에 대하여 좌표평면 위의 두 직선 $l, \; m$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 직선 $l, \;m$ 은 서로 평행하고 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각 $\theta$ 이다.(나) 두 직선 $l, \;m$ 은 곡선 $y=\sqrt{2-x^2} \;(-1 \le x \le 1)$ 과 각각 만난다. 두 직선 $l$ 과 $m$ 사이의 거리의 최댓값을 $f(\theta)$라 할 때, $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) d \theta = a+b \sqrt{2} \pi$ 이다.$20(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$는 유리수이다.) 정답..

함수 $f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n} + \cos 2 \pi x}{x^{2n}+1} $ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)= \displaystyle \int_{-x}^2 f(t) dt + \displaystyle \int_2^xtf(t)dt$$ 라 할 때, $g(-2) +g(2)$ 의 값은? ① $-2$ ② $0$ ③ $2$ ④ $4$ ⑤ $6$ 정답 ③

함수 \(f(x)=\sin \pi x\)와 이차함수 \(g(x)=x(x+1)\) 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(h(x)\) 를 \[h(x)=\displaystyle \int _{g(x)}^{g(x+1)} f(t) dt\] 라 할 때, 닫힌 구간 \([-1, \;1]\) 에서 방정식 \(h(x)=0\) 의 서로 다른 실근의 개수는? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ⑤

최고차항의 계수가 \(1\) 이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(\displaystyle \int_0^3 f(x) dx\) 의 최솟값을 \(m\) 이라 할 때, \(4m\) 의 값을 구하시오. (가) \(f(0)=0\)(나) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(2-x)=f'(2+x)\) 이다.(다) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(x) \ge -3\) 이다. 정답 \(27\)

그림과 같이 삼차함수 \(y=f(x)\) 가 \(f(-1)=f(1)=f(2)=0,\; f(0)=2\) 를 만족시킬 때, \(\displaystyle \int_0^2 f'(x) dx\) 의 값은? ① \(-2\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ①