수악중독

다음 [단계]에 따라 반지름의 길이가 같은 원들을 외접하도록 그린다. [단계 1] \(3\) 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다.[단계 2] 의 아래에 \(3\) 개의 원을 외접하게 그려서 를 얻는다.[단계 3] 의 아래에 \(4\) 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다.\[\vdots\][단계 \(m\)] 의 아래에 \((m+1)\) 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다. (\(m \ge 2)\) 에 그려진 원의 모든 접점의 개수를 \(a_n\) \((n=1, \;2., \;3, \; \cdots)\) 이라 하자. 예를 들어, \(a_1=3,\; a_2=9\) 이다. \(a_{10}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(165\)