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목록수학1 (908)
수악중독
그림과 같이 정육각형 \(\rm ABCDEF\) 의 두 대각선 \(\rm AC,\; CE\) 위에 \(\overline {\rm AM} = \overline {\rm CN} \) 이 되도록 각각 \(\rm M,\; N\) 을 잡는다. 다음은 세 점 \(\rm B, \; M,\; N\) 이 일직선 위에 있으면 세 각 \(\rm \angle BNC,\; \angle CND, \angle DNE\) 의 크기는 이 순서로 등차수열을 이룸을 증명한 것이다. \(\overline {\rm CM} = (가) , \;\; \angle {\rm BCM}= \angle {\rm DEN} = 30^o\) 이므로 \( \triangle \rm BCM \equiv \triangle DEN\) \( \therefore \rm \..
직원뿔대 모양의 커피 잔 \(A\) 와 직원기둥 모양의 커피 잔 \(B\) 가 있다. 커피 잔 \(A\) 의 윗면의 반지름의 길이를 \(a\), 아랫면의 반지름의 길이를 \(b\), 커피 잔 \(B\) 의 반지름의 길이를 \(c\) 라 할 때, \(a,\;c,\;b\) 순으로 등차수열을 이루고, \(a:b=3:1\) 이며 각각의 높이는 윗면과 아랫면의 반지름의 길이의 합과 같다. \(A,\;B\) 두 커피 잔에 커피를 높이의 \(\dfrac{1}{2}\) 까지 부었을 때, 커피의 양을 각각 \(V_A , \; V_B\) 라 하자. \(\dfrac{V_A}{V_B}\) 의 값을 \(\dfrac{q}{p}\) (\(p,\;q\) 는 서로소인 자연수)라 할 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. 정답 19
그림과 같이 한 변의 길이가 \(4\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 와 한 변의 길이가 \(r\) 인 정삼각형 \(\rm DEF\) 를 겹쳐서 점 \(\rm E\) 가 \(\overline {\rm BC}\) 위에 오도록 정삼각형 \(\rm GEC\) 를 만들고, \(\overline {\rm EG} = \overline {\rm GH}\) 가 되도록 점 \(\rm H\) 를 \( \overline {\rm DG}\) 위에 잡는다. \(\triangle {\rm GEC},\; \triangle {\rm AGH},\; \triangle {\rm DEF}\) 의 각각의 넓이가 이 순서로 공비가 \(r\) 인 등비수열을 이룰 때, \(r\) 의 값은? ① \(\dfrac{3}{2}\) ② \(2\) ③ ..
\(1\) 부터 \(99\) 까지의 홀수 중 서로 다른 \(10\) 개를 택하여 그들의 합을 \(S\) 라 하자. 이러한 \(S\) 의 값 중 서로 다른 것을 작은 수부터 차례로 \(a_1 , \; a_2 , \; a_3 , \; \cdots\) 이라 할 때, \(a_{100}\) 의 값은? ① \(268\) ② \(278\) ③ \(288\) ④ \(298\) ⑤ \(308\) 정답 ④
\(n\) 개의 항으로 이루어진 등차수열 \(a_1 , \; a_2 , \; a_3 ,\; \cdots , \; a_n\) 이 다음 조건을 만족한다. (가) 처음 \(4\) 개 항의 합은 \(26\) 이다. (나) 마지막 \(4\) 개 항의 합은 \(134\) 이다. (다) \(a_1 +a_2 +a_3 +\cdots+a_n =260\) 이 때, \(n\) 의 값을 구하시오. 정답 13
모래시계 \(A,\;B,\;C\) 에 들어 있는 모래의 양은 각각 \(3^a \;, 9^b ,\; 27^c\) 이고 매 초당 모래가 위에서 아래로 일정하게 떨어지는 양은 각각 \(a, \; b,\; c\) 이다. \(a, \; b,\; c\) 는 이 순서대로 등비수열을 이루고, \(3^a ,\; 9^b ,\; 27^c\) 도 이 순서대로 등비수열을 이루며, 두 수열의 공비는 같다. 모래시계 \(A,\;B,\;C\) 로 잴 수 있는 시간(초)을 각각 \(t_A , \; t_B ,\; t_C\) 라 할 때, \(t_A +t_B +t_C\) 의 값을 구하시오. (단, 모래가 다 떨어진 후 뒤집지 않는다.) 정답 27
그림과 같이 두 직선 \(l,\; m\) 에 동시에 접하는 원 \({\rm C}_1\) 이 있다. 원 \({\rm C}_1\) 의 중심을 지나고 직선 \(l,\;m\) 에 동시에 접하면서 \({\rm C}_1\) 보다 큰 원을 \({\rm C}_2\) 라 하자. 원 \({\rm C}_2\) 의 중심을 지나고 직선 \(l,\;m\) 에 동시에 접하면서 \({\rm C}_2\) 보다 큰 원을 \({\rm C}_3\) 라 하자. 이와 같은 방법으로 원 \({\rm C}_k\) 의 중심을 지나고 직선 \(l,\;m\) 에 동시에 접하는 \({\rm C}_k\) 보다 큰 원을 \({\rm C}_{k+1}\) 이라 하자. (\(k=1,\;2,\;3,\; \cdots\)) 원 \({\rm C}_1\) 의 넓이가 \(..
서로 다른 두 실수 \(a, \; b\) 에 대하여 \(2,\;\; {\dfrac{a^2}{2}}, \;\; b\) 가 이 순서대로 등차수열을 이루고 \(a+2, \;\; b,\;\;1\) 이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, \(a^2 +b^2\) 의 값은? ① \(3\) ② \(4\) ③ \(5\) ④ \(6\) ⑤ \(7\) 정답 ①
첫째항이 \(400\), 공차가 \(-5\) 인 등차수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \[\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_3}} + \frac{1}{\sqrt{a_3}+\sqrt{a_5}} + \cdots +\frac {1}{\sqrt{a_{59}}+\sqrt{a_{61}}}\] 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①