수악중독

좌표공간에서 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =4\) 위를 움직이는 두 점 \(\rm P, \;Q\) 가 있다. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에서 평면 \(y=4\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm P_1 ,\; Q_1\) 이라 하고, 평면 \(y+\sqrt{3}z+8=0\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm P_2 , \; Q_2\) 라 하자. \(2 \left | \overrightarrow{\rm PQ} \right | ^2 - \left | \overrightarrow{\rm P_1 Q_1} \right | ^2 - \left | \overrightarrow{\rm P_2 Q_2} \right | ^2\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(24\)