수악중독

평면 위에 반지름의 길이가 $13$ 인 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 위의 두 점 $\rm A, \; B$ 에 대하여 $\overline{\rm AB}=24$ 이고, 이 평면 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left | \overrightarrow{\rm AP} \right |=5$(나) $\overrightarrow{\rm AB}$ 와 $\overrightarrow{\rm AP}$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $5 \cos \theta$ 는 자연수이다. 원 $C$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm AP} \cdot \overrightarrow{\rm AQ}$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $128$