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목록극한의 활용 (41)
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그림과 같이 좌표평면에서 곡선 \(y=x^2\) 위의 서로 다른 두 점 \(\rm P, \;Q\) 에 대하여 점 \(\rm P\) 를 지나고 점 \(\rm P\) 에서의 접선에 수직인 직선과 점 \(\rm Q\) 를 지나고 점 \(\rm Q\) 에서의 접선에 수직인 직선의 교점을 \(\rm R\) 라 하자. 점 \(\rm P\) 의 좌표가 \((1, \;1)\) 이고 점 \(\rm Q\) 가 곡선 \(y=x^2\) 을 따라 점 \(\rm P\) 에 한없이 가까워 질 때, \(\overline {\rm PR}\) 의 길이의 극한값은? ① \(\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\) ② \(2\sqrt{5}\) ③ \(\dfrac{5\sqrt{5}}{2}\) ④ \(3\sqrt{5}\) ⑤ \(\dfrac{..
그림과 같이 길이가 \(2\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하고 중심이 점 \(\rm O\) 인 원 \(C_1\) 이 있다. 원 \(C_1\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(\angle \rm PAB=\theta\) 라 하고, 선분 \(\rm OP\) 에 접하고 중심이 점 \(\rm B\) 인 원 \(C_2\) 를 그린다. 원 \(C_2\) 와 선분 \(\rm BP\) 의 교점을 점 \(\rm Q\) 라 할 때, \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{\overline {\rm PQ}}{\theta ^3}\) 의 값은? \(\left ( 단,\; 0
그림과 같이 넓이가 \(M\)인 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 자연수 \(n\) 과 선분 \(\rm AC\) 위의 두 점 \( \rm D,\;E\) 에 대하여 \(\overline{\rm AD} : \overline{\rm DE} : \overline{\rm EC} = n:(2n+1):(3n+2)\) 이고 \(\overline{\rm DE} // \overline{\rm AB},\;\; \overline{\rm GE} // \overline{\rm BC}\) 이다. 선분 \(\rm DF\) 와 선분 \(\rm GE\) 의 교점을 지나는 선분 \(\rm HI\) 는 선분 \(\rm AC\) 와 평행하다. 어두운 부분의 넓이의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to..
좌표평면 위에 있는 두 점 \({\rm O}(0,\;0),\;\;{\rm A}(2, \;0)\) 과 직선 \(y=2\) 위를 움직이는 점 \({\rm P}(t,\;2)\) 가 있다. 선분 \(\rm AP\) 와 직선 \(y=\dfrac{1}{2}x\) 가 만나는 점을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\triangle {\rm QOA}\) 의 넓이가 \(\triangle {\rm POA}\) 의 넓이의 \(\dfrac{1}{3}\) 일 때, \(t\) 의 값을 \(t_1\), \(\dfrac{1}{2}\) 일 때 \(t\) 의 값을 \(t_2\), \(\cdots\), \(\dfrac{n}{n+2}\) 일 때 \(t\) 의 값을 \(t_n\) 이라 하면, \(\lim \limits_{n \to \infty..
포물선 \(y=x(x+1)\) 위에 점 \({\rm A} (-1,\;0)\) 이 있다. 점 \(\rm P\) 가 점 \(\rm A\) 에서 포물선을 따라 원점 \(\rm O\) 로 한없이 가까이 갈 때, \(\angle {\rm APO}\) 의 크기의 극한값을 구하여라. 정답 \(135^o\) 이 문제의 풀이는 인문계 학생들을 대상으로 하였습니다. 자연계 학생들의 경우 삼각함수 tan의 덧셈정리를 이용하여 보다 쉽게 풀 수 있습니다.
그림과 같이 점 \({\rm A}(-2,\;0)\) 과 원 \(x^2 +y^2 =4\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 직선 \(\rm AP\) 가 원 \((x-1)^2 +y^2 =1\) 과 두 점에서 만날 때, 두 점 중에서 점 \(\rm P\) 에 가까운 점을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\angle {\rm OAP}=\theta\) 라 할 때, \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{\overline{\rm PQ}}{\theta ^2}\) 의 값은?① \(\dfrac{5}{2}\) ② \(3\) ③ \(\dfrac{7}{2}\) ④ \(4\) ⑤ \(\dfrac{9}{2}\) 정답 ④
그림과 같이 곡선 \(y=\sqrt{x}\) 위의 점 \({\rm P} \left ( t,\; \sqrt{t} \right )\) 를 지나고 선분 \(\rm OP\) 에 수직인 직선 \(l\) 의 \(x\) 절편과 \(y\) 절편을 각각 \(f(t),\; g(t)\) 라고 할 때, \(\lim \limits_{t \to \infty} \dfrac{g(t)-f(t)}{g(t)+f(t)}\) 의 값을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점, \(t \ne 0\) ) 정답 1
반지름의 길이가 \(1\) 인 원 \(\rm O\) 위에 한 점 \(\rm A\) 가 있다. 점 \(\rm A\) 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(r\) 인 원이 원 \(\rm O\) 와 만나는 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하고, 원 \(\rm O\) 의 지름 \(\rm AB\) 와 만나는 점을 \(\rm R\) 라 하자. 사각형 \(\rm APRQ\) 의 넓이를 \(S(r)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{r \to 2-0} \dfrac{S(r)}{\sqrt{2-r}}\) 의 값은? (단, \(0
이차함수 \(f(x)=a(x-4)^2 -4\) 에 대하여 로그방정식 \(\log _2 f(x) + \log _2 \{ f(x)-1 \}=1\) 의 두 실근을 \(\alpha,\; \beta\) 라고 할 때, \(\lim \limits_{a \to \infty} \alpha \beta\) 의 값을 구하시오. 정답 16
좌표평면에서 직선 \(y=2x\) 위의 점들 중 제\(1\)사분면에 있는 격자점을 원점 \(\rm O\) 에 가까운 쪽부터 \(\rm A_1 , \; A_2 , \; A_3 , \cdots\) 라 하고 \(y=\dfrac{1}{2} x\) 위의 점들 중 제\(1\)사분면에 있는 격자점을 \(\rm O\) 에 가까운 쪽부터 \(\rm B_1 , \; B_2 ,\; B_3 ,\; \cdots \) 이라 하자. 삼각형 \({\rm OA}_k{\rm B}_k\) 의 넓이를 \(S_k \;\; (k=1,\;2,\;3,\; \cdots)\) 라 하고 \(\alpha = \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{S_1 +S_2 +S_3 + \cdots + S_n}{n^3}\) 일 때, \(60 ..