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목록(9차) 수학 II 문제풀이 (86)
수악중독
다음 조건을 만족시키는 $20$ 이하의 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. $\log_2 \left ( na-a^2 \right ) $ 과 $ \log _2 \left (nb-b^2 \right )$ 은 같은 자연수이고, $0
그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 기울기가 $1$ 이고 $y$ 절편이 양수인 직선이 원 $x^2+y^2=\dfrac{n^2}{2}$ 에 접할 때, 이 직선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 ${\rm A}_n, \; {\rm B}_n$ 이라 하자. 점 ${\rm A}_n$ 을 지나고 기울기가 $-2$ 인 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 ${\rm C}_n$ 이라 할 때, 삼각형 ${\rm A}_n{\rm B}_n{\rm C}_n$ 과 그 내부의 점들 중 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{10} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $725$
좌표평면 위에 함수 $f(x) = \begin{cases} {\dfrac{3}{x}}&{(x > 0)} \\ {\dfrac{{12}}{x}}&{(x < 0)}\end{cases}$ 의 그래프와 직선 $y=-x$ 가 있다. 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 점 $ \rm P$ 를 지나고 $ x$ 축에 수직인 직선이 직선 $y=-x$ 와 만나는 점을 $\rm Q$, 점 $\rm Q$ 를 지나고 $y$ 축에 수직인 직선이 $y=f(x)$ 와 만나는 점을 $\rm R$ 라 할 때, 선분 $\rm PQ$ 와 선분 $\rm QR$ 의 길이의 곱 $\rm \overline{PQ} \times \overline{QR}$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $27$
세 실수 $a, \;b, \;c$ 가 이 순서대로 등차수열을 이루고 다음 조건을 만족시킬 때, $abc$ 의 값을 구하시오. (가) $\dfrac{2^a \times 2^c}{2^b}=32$(나) $a+c+ca=26$ 정답 $80$
전체집합 $U=\{x \;|\; x 는 \; 7이하의 \; 자연수 \}$ 의 세 부분집합 $A, \; B, \; C$ 에 대하여 $B \subset A$ 이고 $A \cup C=\{ 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6 \}$ 이다. $A-B=\{5\}$, $B-C=\{2\}$, $C-A=\{4, \;6\}$ 일 때, 집합 $ A \cap \left( B^{C} \cup C \right ) $ 는? ① $\{5\}$ ② $\{1, \; 7\}$ ③ $\{3, \;5\}$ ④ $\{1, \;3, \;5\}$ ⑤ $\{1, \;2, \; 3, \;5, \; 7\}$ 정답 ④
다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$ \dfrac{4}{3} + \dfrac{8}{3^2} + \dfrac{12}{3^3} + \cdots + \dfrac{4n}{3^n}=3-\dfrac{2n+3}{3^n} \cdots\cdots(*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) $n=1$ 일 때, (좌변)=$\dfrac{4}{3}$, (우변)=$3-\dfrac{5}{3}=\dfrac{4}{3}$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다.(2) $n=k$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $\dfrac{3}{4}+\dfrac{8}{3^2}+\dfrac{12}{3^3} +\cdots+\dfrac{4k}{3^k}=3-\dfrac{2k+3}{3^k}$ 이다. 위 등식의 양변에 $\dfrac{4..
집합 $X=\{0, \;1, \;2, \;3, \;4\}$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $X$ 에서 $X$ 로의 함수 $f(x)$ 는 '$2x$ 를 $5$ 로 나눈 나머지' 로 정의하고, $X$ 에서 $X$ 로의 함수 $g(x)$ 는 $(f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)$ 를 만족시킨다. $g(1)=3$ 일 때, $ g(0)+g(3)$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ④
어떤 지역의 먼지농도에 따른 대기오염 정도는 여과지에 공기를 여과시켜 헤이즈계수를 계산하여 판별한다. 과화학적 밀도가 일정하도록 여과지 상의 빛을 분산시키는 고형물의 양을 헤이즈계수 $H$, 여과지 이동거리를 $L(m)\;(L>0)$, 여과지를 통과하는 빛전달률을 $S(0
유리함수 $ f(x) = \dfrac{8x}{2x-15}$ 와 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $a_n = f(n)$ 이다. $\sum \limits_{n=1}^{m} a_n \le 73$ 을 만족시키는 자연수 $ m$ 의 최댓값을 구하시오. 정답 $16$