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목록(고1) 수학 - 문제풀이/집합과 명제 (42)
수악중독
두 양수 $a, \; b$ 에 대하여 좌표평면 위의 점 ${\rm P}(a, \; b)$ 를 지나고 직선 $\rm OP$ 에 수직인 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. 점 ${\rm R} \left (-\dfrac{1}{a}, \; 0 \right )$ 에 대하여 삼각형 $\rm OQR$ 의 넓이의 최솟값은? (단 $\rm O$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ②
$9$ 이하의 자연수 $k$ 에 대하여 집합 $A_k$ 를 $$A_k = \{x \; | \; k-1 \le x \le k+1, \; x\text{는 실수}\}$$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $A_1 \cap A_2 \cap A_3 =\{2\}$ ㄴ. $9$ 이하의 두 자연수 $l, \; m$ 에 대하여 $|l-m| \le 2$ 이면 두 집합 $A_l$ 과 $A_m$ 은 서로소가 아니다. ㄷ. 모든 $A_k$ 와 서로소가 아니고 원소가 유한개인 집합 중 원소의 개수가 최소인 집합의 원소의 개수는 $4$ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ,ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ③
한 모서리의 길이가 $6$ 이고 부피가 $108$ 인 직육면체를 만들려고 한다. 이때, 만들 수 있는 직육면체의 대각선의 길이의 최솟값은? ① $6\sqrt{2}$ ② $9$ ③ $7\sqrt{2}$ ④ $11$ ⑤ $8\sqrt{2}$ 더보기 정답 ①
전체집합 $U=\{ x \; | \; x \text{는 } 20 \text{ 이하의 자연수}\}$ 의 부분집합 $$\begin{aligned}A_k &= \{ x \; | \; x(y-k)=30, \; y \in U\} \\ B &= \left \{ x \; \Big | \; \dfrac{30-x}{5} \in U \right \} \end{aligned}$$ 에 대하여 $n \left (A_k \cap B^{C} \right )=1$ 이 되도록 하는 모든 자연수 $k$ 의 개수는? ① $3$ ② $5$ ③ $7$ ④ $9$ ⑤ $11$ 더보기 정답 ②
실수 $x$ 에 대한 두 조건 $$p: x^2-5x-6 \le 0, \\ q:(x-a)(x-a-2) \le 0$$ 에 대하여 $p$ 가 $q$ 이기 위한 필요조건이 되도록 하는 모든 정수 $a$ 의 개수는? ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 더보기 정답 ②
$18$ 이하의 자연수 $k$ 에 대하여 두 집합 $$A=\{x \; | \; x \text{는 } k \text{의 양의 약수}\}, \quad B=\{2, \; 5, \; 6\}$$ 이 있다. $n(A \cap B)=2$ 일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $A \cap B = \{2, \; 5\}$ 이면 $k=10$ 이다. ㄴ. $A \cap B = \{5, \; 6\}$ 을 만족하는 $k$ 가 존재한다. ㄷ. 집합 $A-B$ 의 모든 원소의 합이 홀수가 되는 모든 $k$ 의 값의 합은 $28$ 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ③
전체집합 $U=\{1, \; 2, \; 4, \; 8, \; 16, \; 32\}$ 의 두 부분집합 $A, \; B$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 집합 $A \cup B^C$ 의 모든 원소의 합은 집합 $B-A$ 의 모든 원소의 합의 $6$ 배이다. (나) $n(A \cup B)=5$ 집합 $A$ 의 모든 원소의 합의 최솟값을 구하시오. (단, $2 \le n(B-A) \le 4$) 더보기 정답 $22$
두 자연수 $k, \; m \; (k \ge m)$에 대하여 전체집합 $$U=\{x \; |\; x\text{는 }k \text{ 이하의 자연수}\}$$의 두 부분집합 $A=\{x \; | \; x\text{는 } m\text{의 약수}\}$, $B$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $B-A=\{4, \; 7\}, \; n\left (A \cup B^C \right )=7$ (나) 집합 $A$의 모든 원소의 합과 집합 $B$의 모든 원소의 합은 서로 같다. 집합 $A^C \cap B^C$의 모든 원소의 합은? ① $18$ ② $19$ ③ $20$ ④ $21$ ⑤ $22$ 더보기 정답 ⑤
$\angle {\rm C}=90^{\rm o}$ 인 직각삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이가 $16$ 일 때, $\overline{\rm AB}^2$ 의 최솟값은? ① $48$ ② $56$ ③ $64$ ④ $72$ ⑤ $80$ 더보기 정답 ③
전체집합 $U=\{ x \; | \; x \text{ 는 } 10 \text{ 이하의 자연수} \}$ 의 두 부분집합 $$A=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}, \quad B=\{3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7\}$$ 에 대하여 집합 $U$ 의 부분집합 $X$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 집합 $X$ 의 모든 원소의 합의 최솟값은? (가) $n(X)=6$ (나) $A-X=B-X$ (다) $(X-A) \cap (X-B) \ne \varnothing$ ① $26$ ② $27$ ③ $28$ ④ $29$ ⑤ $30$ 더보기 정답 ②