수악중독

최고차항의 계수가 $1$ 인 다항함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$xf'(x)-3f(x)=2x^2-8x$$ 를 만족시킬 때, $f(1)$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③

$a>1$ 인 실수 $a$ 에 대하여 두 곡선 $$y=-\log_2(-x), \quad y=\log_2 (x+2a)$$ 가 만나는 두 점을 $\rm A, \; B$ 라 하자. 선분 $\rm AB$ 의 중점이 직선 $4x+3y+5=0$ 위에 있을 때, 선분 $\rm AB$ 의 길이는? ① $\dfrac{3}{2}$ ② $\dfrac{7}{4}$ ③ $2$ ④ $\dfrac{9}{4}$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ⑤

두 정수 $a, \; b$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $0 \le x

양수 $a$ 에 대하여 함수 $$f(x)=\left | 4 \sin \left (ax - \dfrac{\pi}{3} \right ) + 2 \right | \quad \left ( 0 \le x < \dfrac{4\pi}{a} \right )$$ 의 그래프가 직선 $y=2$ 와 만나는 서로 다른 점의 개수는 $n$ 이다. 이 $n$ 개의 점의 $x$ 좌표의 합이 $39$ 일 때, $n \times a$ 의 값은? ① $\dfrac{\pi}{2}$ ② $\pi$ ③ $\dfrac{3\pi}{2}$ ④ $2\pi$ ⑤ $\dfrac{5\pi}{2}$ 더보기 정답 ④

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=2$, $\overline{\rm BC}=3\sqrt{3}$, $\overline{\rm CA}=\sqrt{13}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm BC$ 위에 점 $\rm B$ 가 아닌 점 $\rm D$ 를 $\overline{\rm AD}=2$ 가 되도록 잡고, 선분 $\rm AC$ 위에 양 끝점 $\rm A, \; C$ 가 아닌 점 $\rm E$ 를 사각형 $\rm ABDE$ 가 원에 내접하도록 잡는다. 다음은 선분 $\rm DE$ 의 길이를 구하는 과정이다. 삼각형 $\rm ABC$ 에서 코사인법칙에 의하여 $$ \cos (\angle {\rm ABC}) = \boxed{ (가) }$$ 이다. 삼각형 $\rm ABD$ 에서 $\s..

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $$\int_t^x f(s)ds=0$$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f(x)=x^2(x-1)$ 일 때, $g(1)=1$ 이다. ㄴ. 방정식 $f(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수가 $3$ 이면 $g(a)=3$ 인 실수 $a$ 가 존재한다. ㄷ. $\lim \limits_{t \to b} g(t)+g(b)=6$ 을 만족시키는 실수 $b$ 의 값이 $0$ 과 $3$ 뿐이면 $f(4)=12$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보기 정답 ②

수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 두 자연수 $p, \; q$ 에 대하여 $S_n=pn^2-36n+q$ 일 때, $S_n$ 이 다음 조건을 만족시키도록 하는 $p$ 의 최솟값을 $p_1$ 이라 하자. 임의의 두 자연수 $i, \; j$ 에 대하여 $i \ne j$ 이면 $S_i \ne S_j$ 이다. $p=p_1$ 일 때, $|a_k|

최고차항의 계수가 $1$ 이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(5)$ 의 최댓값을 구하시오. (가) $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{|f(x)-1|}{x}$ 의 값이 존재한다. (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $xf(x) \ge -4x^2+x$ 이다. 더보기 정답 $226$

그림과 같이 $a>1$ 인 실수 $a$ 에 대하여 두 곡선 $$y=a^{-2x}-1, \quad y=a^x-1$$ 이 있다. 곡선 $y=a^{-2x}-1$ 과 직선 $y=-\sqrt{3}x$ 가 서로 다른 두 점 $\rm O, \; A$ 에서 만난다. 점 $\rm A$ 를 지나고 직선 $\rm OA$ 에 수직인 직선이 곡선 $y=a^x-1$ 과 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\rm B$ 라 하자. $\overline{\rm OA}:\overline{\rm OB}=\sqrt{3}:\sqrt{19}$ 일 때, 선분 $\rm AB$ 의 길이를 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $8$

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 실수 $t$ 에 대하여 구간 $(-\infty, \; t]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값을 $m_1$ 이라 하고, 구간 $[t, \; \infty)$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값을 $m_2$ 라 할 때, $$g(t)=m_1-m_2$$ 라 하자. $k>0$ 인 상수 $k$ 와 함수 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $g(t)=k$ 를 만족시키는 모든 실수 $t$ 의 값의 집합은 $\{t | 0 \le t \le 2\}$ 이다. $g(4)=0$ 일 때, $k+g(-1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $82$