수악중독

두 초점이 $\rm F, \; F'$ 이고 장축의 길이가 $2a$ 인 타원이 있다. 이 타원의 한 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 이 타원의 서로 다른 두 꼭짓점과 한 초점을 지날 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ② $\dfrac{\sqrt{6}-1}{2}$ ③ $\sqrt{3}-1$ ④ $2\sqrt{2}-2$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 더보기 정답 ③

포물선 $y^2=8x$ 와 직선 $y=2x-4$ 가 만나는 점 중 제$1$사분면 위에 있는 점을 $\rm A$ 라 하자. 양수 $a$ 에 대하여 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$ 가 점 $\rm A$ 를 지날 때, 직선 $y=2x-4$ 와 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$ 가 만나는 점 중 점 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B$ 라 하자. 두 점 $ \rm A, \; B$ 에서 직선 $x=-2$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm C, \; D$ 라 할 때, $\overline{\rm AC} + \overline{\rm BD}-\overline{\rm AB} = k$ 이다. $k^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $80$

좌표평면 위에 네 점 ${\rm A}(2, \; 0), \; {\rm B}(0, \; 2), \; {\rm C}(-2, \; 0), \; {\rm D}(0, \; -2)$ 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 네 변 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left ( \overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AB} \right ) \left ( \overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AD} \right ) = 0$ (나) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP} \ge -2$ 이고 $\overrigh..

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원의 호 $\rm AB$ 위에 점 $\rm P$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 의 중점을 $\rm O$ 라 할 때, 점 $\rm B$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 수직인 직선이 직선 $\rm OP$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하고, $\angle \rm OQB$ 의 이등분선이 직선 $\rm AP$ 와 만나는 점을 $\rm R$ 이라 하자. $\angle \rm OAP=\theta$ 일 때, 삼각형 $\rm OAP$ 의 넓이를 $f(\theta)$ , 삼각형 $\rm PQR$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{g(\theta)}{\theta^4 ..

$t>2e$ 인 실수 $t$ 에 대하여 함수 $f(x)= t (\ln x)^2 - x^2$ 이 $x=k$ 에서 극대일 때, 실수 $k$ 의 값을 $g(t)$ 라 하면 $g(t)$ 는 미분가능한 함수이다. $g(\alpha)=e^2$ 인 실수 $\alpha$ 에 대하여 $\alpha \times \{ g'(\alpha)\}^2=\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $17$

$t> \dfrac{1}{2} \ln 2$ 인 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y= \ln \left ( 1+ e^{2x}-e^{-2t} \right )$ 과 직선 $y=x+t$ 가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 $f(t)$ 라 할 때, $f'(\ln 2)= \dfrac{q}{p} \sqrt{2}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $11$

$\overline{\rm DA}=2 \overline{\rm AB}$, $\angle \rm DAB = \dfrac{2}{3}\pi$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원에 내접하는 사각형 $\rm ABCD$ 가 있다. 두 대각선 $\rm AC, \; BD$ 의 교점을 $\rm E$ 라 할 때, 점 $\rm E$ 는 선분 $\rm BD$ 를 $3:4$ 로 내분한다. 사각형 $\rm ABCD$ 의 넓이가 $\dfrac{q}{p}\sqrt{3}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $13$

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 세 함수 $$f(x)=\cos \pi x, \;\; g(x) = \sin \pi x, \;\; h(x) =ax+b$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $0 \le x \le 4$ 일 때, 방정식 $(f \circ h)(x)=(h \circ g) \left ( \dfrac{3}{2} \right )$ 의 서로 다른 실근의 개수는 홀수이다. (나) $0 \le x \le 4$ 일 때, 방정식 $(f \circ h)(x)=(h \circ g)(t)$ 의 서로 다른 모든 실근의 합이 $56$ 이 되도록 하는 실수 $t$ 가 존재한다. $\dfrac{a \times b}{\cos ^2 \pi t}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $686$