수악중독

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_{2n} = a_n-1$ (나) $a_{2n+1} = 2a_n +1$ $a_{20} =1 $ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{63} a_n$ 의 값은? ① $704$ ② $712$ ③ $720$ ④ $728$ ⑤ $736$ 더보기 정답 ④

세 명의 학생 $\rm A, \; B, \; C$ 에게 같은 종류의 사탕 $6$ 개와 같은 종류의 초콜릿 $5$ 개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (가) 학생 $\rm A$ 가 받는 사탕의 개수는 $1$ 이상이다. (나) 학생 $\rm B$ 가 받는 초콜릿의 개수는 $1$ 이상이다. (다) 학생 $\rm C$ 가 받는 사탕의 개수와 초콜릿의 개수의 합은 $1$ 이상이다. 더보기 정답 $285$

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $f(x)-x=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $2$ 이다. (나) 방정식 $f(x)+x=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $2$ 이다. $f(0)=0, \; f'(1)=1$ 일 때, $f(3)$ 의 값을 구하시오. 정답 $51$

실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=e^x$ 위의 점 $ \left (t, \; e^t \right )$ 에서의 접선의 방정식을 $y=f(x)$ 라 할 때, 함수 $y= \left | f(x) +k - \ln x \right |$ 가 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 실수 $k$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 두 실수 $a, \; b \; (a< b)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^b g(t) dt = m$ 이라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $m

좌표공간에서 두 점 ${\rm A}(3, \; -3, \; 3)$, ${\rm B}(-2, \; 7, \; -2)$ 에 대하여 선분 $\rm AB$ 를 포함하고 구 $x^2+y^2+z^2=1$ 에 접하는 두 평면을 $\alpha, \; \beta$ 라 하자. 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 와 구 $x^2+y^2+z^2=1$ 의 접점을 각각 $\rm C, \; D$ 라 할 때, 사면체 $\rm ABCD$ 의 부피는 $\dfrac{q}{p}\sqrt{3}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $29$

양의 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=t^3 \ln (x-t)$ 가 곡선 $y=2e^{x-a}$ 과 오직 한 점에서 만나도록 하는 실수 $a$ 의 값을 $f(t)$ 라 하자. $\left \{ f' \left (\dfrac{1}{3} \right ) \right \}^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $64$