무리함수&역함수의 성질_난이도 중 (2023년 12월 전국연합 고1 19번)

 

 

그림과 같이 함수 $f(x)=\sqrt{x-2}$ 와 그 역함수 $f^{-1}(x)$ 에 대하여 기울기가 $-1$ 인 직선 $l$ 이 곡선 $y=f(x)$ 와 점 $\mathrm{P}$ 에서 만나고 직선 $l$ 이 곡선 $y=f^{-1}(x)$ 와 점 $\mathrm{Q}$ 에서 만난다.

 

 

다음은 삼각형 $\mathrm{OPQ}$ 의 외접원의 넓이가 $\dfrac{25}{2}\pi$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 $y$ 좌표를 구하는 과정이다. (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.)

 

점 $\mathrm{P}$ 의 $y$ 좌표를 $a \; (a \ge 0)$ 이라 하면

점 $\mathrm{P}$ 의 좌표는 $\left ( \boxed{\text{ (가) }}, \; a \right )$ 이다.

두 곡선 $y=f(x)$ 와 $y=f^{-1}(x)$ 는 직선 $y=x$ 에 대하여 서로 대칭이고 두 직선 $l$ 과 $y=x$ 는 서로 수직이므로 두 점 $\mathrm{P}$ 와 $\mathrm{Q}$ 는 직선 $y=x$ 에 대하여 서로 대칭이다.

그러므로 삼각형 $\mathrm{OPQ}$ 의 외접원의 중심을 $\mathrm{C}$ 라 하면 점 $\mathrm{C}$ 는 직선 $y=x$ 위에 있다.

삼각형 $\mathrm{OPQ}$ 의 외접원의 넓이가 $\dfrac{25}{2}\pi$ 일 때, 점 $\mathrm{C}$ 의 좌표는 $\left ( \boxed{\text{ (나) }}, \; \boxed{\text{ (나) }} \right )$ 이고,

$\overline{\mathrm{CP}}=\overline{\mathrm{CO}}$ 에서 $a=\boxed{\text{ (다) }}$

따라서 점 $\mathrm{P}$ 의 $y$ 좌표는 $\boxed{\text{ (다) }}$ 이다.

 

위의 (가)에 알맞은 식을 $g(a)$ 라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $m, \; n$ 이라 할 때, $m+g(n)$ 의 값은?

 

① $8$          ② $\dfrac{33}{4}$          ③ $\dfrac{17}{2}$          ④ $\dfrac{35}{4}$          ⑤ $9$

 

정답 ③