그림과 같이 반비례 관계 $y=\dfrac{a}{x} \; (a \gt 0)$ 의 그래프가 두 정비례 관계 $y=mx, \; y=nx$ 의 그래프와 제$1$사분면에서 만나는 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하자. 점 $\mathrm{P}$ 를 지나고 $y$ 축과 평행한 직선이 정비례 관계 $y=nx$ 의 그래프와 만나는 점 $\mathrm{R}$ 에 대하여 삼각형 $\mathrm{PRQ}$ 의 넓이가 $\dfrac{3}{2}$ 이다. 점 $\mathrm{Q}$ 의 $x$ 좌표가 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표의 $2$ 배일 때, 실수 $a$ 의 값은? (단, $m \gt n \gt 0$)
