그림과 같이 $1$ 보다 큰 두 실수 $a, \; k$ 에 대하여 직선 $y=k$ 가 두 곡선 $y=2 \log_a x +k, \; y=a^{x-k}$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하고, 직선 $x=k$ 가 두 곡선 $y=2\log_a x+k, \; y=a^{x-k}$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{C, \; D}$ 라 하자. $\mathrm{\overline{AB} \times \overline{CD}=85}$ 이고 삼각형 $\mathrm{CAD}$ 의 넓이가 $35$ 일 때, $a+k$ 의 값을 구하시오.
